Produktregel

Die Produktregel zeigt dir, wie du zwei Ausdrücke ableitest, die miteinander multipliziert werden. Wenn $f$ und $g$ an der Stelle $x$ beide differenzierbar sind, dann gilt

$$\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x).$$

Das ist die Ableitungsregel für Produkte wie $x^2\sin(x)$ und $x e^x$. Leite den ersten Faktor einmal ab, dann den zweiten Faktor einmal, und addiere die Ergebnisse.

Formel der Produktregel

Starte mit

$$y = f(x)g(x)$$

Wenn beide Funktionen differenzierbar sind, dann gilt

$$\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$

In Worten: Leite den ersten Faktor ab und lasse den zweiten stehen, dann lasse den ersten stehen und leite den zweiten ab. Die Regel beruht darauf, dass sich beide Faktoren mit $x$ ändern.

Warum die Produktregel zwei Terme hat

Wenn zwei veränderliche Größen miteinander multipliziert werden, kann sich das Produkt auf zwei Arten ändern. Der erste Faktor kann sich ändern, während der zweite in diesem Moment fest bleibt, oder der zweite Faktor kann sich ändern, während der erste fest bleibt.

Deshalb hat die Ableitung zwei Terme statt nur eines.

Durchgerechnetes Beispiel: $x^2\sin(x)$

Bestimme die Ableitung von

$$y = x^2 \sin(x)$$

Das ist ein Produkt aus zwei Funktionen:

$$f(x) = x^2 \quad \text{und} \quad g(x) = \sin(x)$$

Leite jeden Faktor ab:

$$f'(x) = 2x \quad \text{und} \quad g'(x) = \cos(x)$$

Wende die Produktregel an:

$$\frac{dy}{dx} = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$ $$\frac{dy}{dx} = 2x\sin(x) + x^2\cos(x)$$

Also gilt

$$\frac{d}{dx}\left(x^2\sin(x)\right) = 2x\sin(x) + x^2\cos(x).$$

Eine häufige falsche Antwort ist $2x\cos(x)$. Das entsteht, wenn man beide Faktoren ableitet und die Ergebnisse multipliziert, was nicht der Produktregel entspricht.

Häufige Fehler bei der Produktregel

1. $f'(x)g'(x)$ zu schreiben. Im Allgemeinen ist das nicht die Ableitung von $f(x)g(x)$.
2. Einen Term zu vergessen und nur $f'(x)g(x)$ oder nur $f(x)g'(x)$ zu schreiben.
3. Die Produktregel mit der Kettenregel zu verwechseln. $x^2\sin(x)$ ist ein Produkt, aber $\sin(x^2)$ ist eine Verkettung.
4. Klammern wegzulassen, wenn ein Faktor ein längerer Ausdruck ist, zum Beispiel $(x^2+1)e^x$.

Wann man die Produktregel verwendet

Verwende die Produktregel, wenn eine Funktion als ein differenzierbarer Faktor mal ein anderer differenzierbarer Faktor geschrieben ist und beide von $x$ abhängen. Häufige Fälle sind:

1. Ein Polynom mal eine trigonometrische Funktion, zum Beispiel $x^3\cos(x)$
2. Ein Polynom mal eine Exponentialfunktion, zum Beispiel $x e^x$
3. Ein logarithmisches Produkt, zum Beispiel $x\ln(x)$
4. Ein Produkt, bei dem für einen Faktor zusätzlich die Kettenregel nötig ist, zum Beispiel $x\sin(x^2)$

Wenn ein Faktor konstant ist, vereinfacht sich die Regel zur Faktorregel.

Eine schnelle Kontrolle nach dem Ableiten

Vor dem Vereinfachen hat ein Ergebnis aus der Produktregel meistens zwei addierte Terme. Wenn du sofort nur einen Term siehst, prüfe, ob du einen Teil der Ableitung vergessen hast.

Probiere eine eigene Variante

Leite $y = x^3 e^x$ ab und prüfe, ob dein Ergebnis zwei Terme hat. Versuche dann einen ähnlichen Vergleich: Bei $y = e^{x^3}$ hat sich die Struktur geändert, deshalb ist dort die Kettenregel das bessere Werkzeug.