Çarpım Kuralı

Çarpım kuralı, çarpılan iki ifadeyi nasıl türevleyeceğinizi söyler. Eğer $f$ ve $g$, $x$ noktasında türevlenebilirse, o zaman

$$\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x).$$

Bu, $x^2\sin(x)$ ve $x e^x$ gibi çarpımlar için kullanılan türev kuralıdır. Önce birinci çarpanı bir kez türevleyin, sonra ikinci çarpanı bir kez türevleyin ve sonuçları toplayın.

Çarpım kuralı formülü

Şununla başlayın:

$$y = f(x)g(x)$$

Her iki fonksiyon da türevlenebilirse, o zaman

$$\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$

Sözel olarak: birinciyi türevleyip ikinciyi olduğu gibi bırakın, sonra birinciyi olduğu gibi bırakıp ikinciyi türevleyin. Bu kural, her iki çarpanın da $x$ ile değişmesine dayanır.

Çarpım kuralında neden iki terim vardır?

Değişen iki nicelik çarpıldığında, çarpım iki farklı şekilde değişebilir. İlk çarpan değişirken ikinci çarpan o anda sabit kalabilir ya da ikinci çarpan değişirken birinci çarpan sabit kalabilir.

Bu yüzden türevde tek terim yerine iki terim vardır.

Çözümlü örnek: $x^2\sin(x)$

Şu ifadenin türevini bulun:

$$y = x^2 \sin(x)$$

Bu, iki fonksiyonun çarpımıdır:

$$f(x) = x^2 \quad \text{ve} \quad g(x) = \sin(x)$$

Her çarpanı türevleyin:

$$f'(x) = 2x \quad \text{ve} \quad g'(x) = \cos(x)$$

Çarpım kuralını uygulayın:

$$\frac{dy}{dx} = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$ $$\frac{dy}{dx} = 2x\sin(x) + x^2\cos(x)$$

Dolayısıyla

$$\frac{d}{dx}\left(x^2\sin(x)\right) = 2x\sin(x) + x^2\cos(x).$$

Yaygın bir yanlış cevap $2x\cos(x)$ olur. Bu hata, her iki çarpanı da türevleyip sonuçları çarpmaktan kaynaklanır; oysa çarpım kuralı bu değildir.

Çarpım kuralında sık yapılan hatalar

1. $f'(x)g'(x)$ yazmak. Genel olarak bu, $f(x)g(x)$ ifadesinin türevi değildir.
2. Bir terimi unutup yalnızca $f'(x)g(x)$ ya da yalnızca $f(x)g'(x)$ yazmak.
3. Çarpım kuralını zincir kuralıyla karıştırmak. $x^2\sin(x)$ bir çarpımdır, ama $\sin(x^2)$ bir bileşimdir.
4. Çarpanlardan biri $(x^2+1)e^x$ gibi daha uzun bir ifade olduğunda parantezleri atlamak.

Çarpım kuralı ne zaman kullanılır?

Bir fonksiyon, türevlenebilir bir çarpanın başka bir türevlenebilir çarpanla çarpımı olarak yazılmışsa ve her ikisi de $x$'e bağlıysa çarpım kuralını kullanın. Yaygın durumlar şunlardır:

1. $x^3\cos(x)$ gibi bir polinom ile bir trigonometrik fonksiyonun çarpımı
2. $x e^x$ gibi bir polinom ile bir üstel fonksiyonun çarpımı
3. $x\ln(x)$ gibi logaritmalı bir çarpım
4. $x\sin(x^2)$ gibi çarpanlardan birinin ayrıca zincir kuralı gerektirdiği bir çarpım

Eğer çarpanlardan biri sabitse, kural sabit katsayı kuralına indirgenir.

Türev aldıktan sonra hızlı bir kontrol

Sadeleştirmeden önce, çarpım kuralıyla bulunan bir cevapta genellikle toplanan iki terim olur. Daha en başta yalnızca tek terim görüyorsanız, türevin bir kısmını atlayıp atlamadığınızı kontrol edin.

Kendi örneğinizi deneyin

$y = x^3 e^x$ ifadesinin türevini alın ve sonucunuzda iki terim olup olmadığını kontrol edin. Sonra yakın bir karşılaştırma yapın: $y = e^{x^3}$ için yapının değiştiğine dikkat edin; bu durumda daha uygun araç zincir kuralıdır.