Regla del producto

La regla del producto te dice cómo derivar dos expresiones que están multiplicadas entre sí. Si $f$ y $g$ son ambas derivables en $x$, entonces

$$\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x).$$

Esta es la regla de derivación para productos como $x^2\sin(x)$ y $x e^x$. Deriva el primer factor una vez, luego el segundo factor una vez, y suma los resultados.

Fórmula de la regla del producto

Empieza con

$$y = f(x)g(x)$$

Si ambas funciones son derivables, entonces

$$\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$

En palabras: deriva la primera y deja la segunda igual, luego deja la primera igual y deriva la segunda. La regla depende de que ambos factores cambien con $x$.

Por qué la regla del producto tiene dos términos

Cuando se multiplican dos cantidades que cambian, el producto puede cambiar de dos maneras. El primer factor puede cambiar mientras el segundo permanece fijo en ese momento, o el segundo factor puede cambiar mientras el primero permanece fijo.

Por eso la derivada tiene dos términos en lugar de uno.

Ejemplo resuelto: $x^2\sin(x)$

Halla la derivada de

$$y = x^2 \sin(x)$$

Este es un producto de dos funciones:

$$f(x) = x^2 \quad \text{and} \quad g(x) = \sin(x)$$

Deriva cada factor:

$$f'(x) = 2x \quad \text{and} \quad g'(x) = \cos(x)$$

Aplica la regla del producto:

$$\frac{dy}{dx} = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$ $$\frac{dy}{dx} = 2x\sin(x) + x^2\cos(x)$$

Así que

$$\frac{d}{dx}\left(x^2\sin(x)\right) = 2x\sin(x) + x^2\cos(x).$$

Una respuesta incorrecta común es $2x\cos(x)$. Eso viene de derivar ambos factores y multiplicar los resultados, lo cual no es la regla del producto.

Errores comunes con la regla del producto

1. Escribir $f'(x)g'(x)$. En general, eso no es la derivada de $f(x)g(x)$.
2. Olvidar un término y escribir solo $f'(x)g(x)$ o solo $f(x)g'(x)$.
3. Confundir la regla del producto con la regla de la cadena. $x^2\sin(x)$ es un producto, pero $\sin(x^2)$ es una composición.
4. Omitir paréntesis cuando uno de los factores es una expresión más larga, como $(x^2+1)e^x$.

Cuándo usar la regla del producto

Usa la regla del producto cuando una función está escrita como un factor derivable por otro factor derivable, y ambos dependen de $x$. Algunos casos comunes incluyen:

1. Un polinomio por una función trigonométrica, como $x^3\cos(x)$
2. Un polinomio por una exponencial, como $x e^x$
3. Un producto logarítmico, como $x\ln(x)$
4. Un producto en el que uno de los factores también necesita la regla de la cadena, como $x\sin(x^2)$

Si uno de los factores es una constante, la regla se reduce a la regla del factor constante.

Una comprobación rápida después de derivar

Antes de simplificar, una respuesta obtenida con la regla del producto normalmente tiene dos términos sumados. Si ves solo un término de inmediato, revisa si omitiste parte de la derivada.

Prueba tu propia versión

Deriva $y = x^3 e^x$ y comprueba si tu resultado tiene dos términos. Luego prueba una comparación cercana: para $y = e^{x^3}$, observa que la estructura cambió, así que la regla de la cadena es la mejor herramienta en ese caso.