Quy tắc đạo hàm tích

Quy tắc đạo hàm tích cho biết cách lấy đạo hàm của hai biểu thức được nhân với nhau. Nếu $f$ và $g$ đều khả vi tại $x$, thì

$$\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x).$$

Đây là quy tắc đạo hàm cho các tích như $x^2\sin(x)$ và $x e^x$. Hãy lấy đạo hàm của thừa số thứ nhất một lần, rồi của thừa số thứ hai một lần, sau đó cộng hai kết quả lại.

Công thức quy tắc đạo hàm tích

Bắt đầu với

$$y = f(x)g(x)$$

Nếu cả hai hàm đều khả vi, thì

$$\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$

Nói cách khác: lấy đạo hàm của thừa số thứ nhất và giữ nguyên thừa số thứ hai, rồi giữ nguyên thừa số thứ nhất và lấy đạo hàm của thừa số thứ hai. Quy tắc này phụ thuộc vào việc cả hai thừa số đều thay đổi theo $x$.

Vì sao quy tắc đạo hàm tích có hai hạng tử

Khi hai đại lượng đang thay đổi được nhân với nhau, tích của chúng có thể thay đổi theo hai cách. Thừa số thứ nhất có thể thay đổi trong khi thừa số thứ hai được giữ cố định tại thời điểm đó, hoặc thừa số thứ hai có thể thay đổi trong khi thừa số thứ nhất được giữ cố định.

Đó là lý do đạo hàm có hai hạng tử thay vì chỉ một.

Ví dụ có lời giải: $x^2\sin(x)$

Tìm đạo hàm của

$$y = x^2 \sin(x)$$

Đây là tích của hai hàm:

$$f(x) = x^2 \quad \text{and} \quad g(x) = \sin(x)$$

Lấy đạo hàm của từng thừa số:

$$f'(x) = 2x \quad \text{and} \quad g'(x) = \cos(x)$$

Áp dụng quy tắc đạo hàm tích:

$$\frac{dy}{dx} = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$ $$\frac{dy}{dx} = 2x\sin(x) + x^2\cos(x)$$

Vậy

$$\frac{d}{dx}\left(x^2\sin(x)\right) = 2x\sin(x) + x^2\cos(x).$$

Một đáp án sai thường gặp là $2x\cos(x)$. Kết quả đó xuất hiện khi lấy đạo hàm cả hai thừa số rồi nhân các kết quả lại với nhau, nhưng đó không phải là quy tắc đạo hàm tích.

Những lỗi thường gặp khi dùng quy tắc đạo hàm tích

1. Viết $f'(x)g'(x)$. Nói chung, đó không phải là đạo hàm của $f(x)g(x)$.
2. Quên một hạng tử và chỉ viết $f'(x)g(x)$ hoặc chỉ viết $f(x)g'(x)$.
3. Nhầm quy tắc đạo hàm tích với quy tắc dây chuyền. $x^2\sin(x)$ là một tích, còn $\sin(x^2)$ là một hàm hợp.
4. Bỏ dấu ngoặc khi một thừa số là biểu thức dài hơn, chẳng hạn như $(x^2+1)e^x$.

Khi nào dùng quy tắc đạo hàm tích

Dùng quy tắc đạo hàm tích khi một hàm được viết dưới dạng một thừa số khả vi nhân với một thừa số khả vi khác, và cả hai đều phụ thuộc vào $x$. Các trường hợp thường gặp gồm:

1. Một đa thức nhân với một hàm lượng giác, chẳng hạn như $x^3\cos(x)$
2. Một đa thức nhân với một hàm mũ, chẳng hạn như $x e^x$
3. Một tích có logarit, chẳng hạn như $x\ln(x)$
4. Một tích mà một thừa số còn cần dùng quy tắc dây chuyền, chẳng hạn như $x\sin(x^2)$

Nếu một thừa số là hằng số, quy tắc này rút gọn thành quy tắc nhân với hằng số.

Kiểm tra nhanh sau khi lấy đạo hàm

Trước khi rút gọn, đáp án từ quy tắc đạo hàm tích thường có hai hạng tử được cộng với nhau. Nếu bạn chỉ thấy ngay một hạng tử, hãy kiểm tra xem mình có bỏ sót một phần của đạo hàm hay không.

Tự thử một bài tương tự

Hãy lấy đạo hàm của $y = x^3 e^x$ và kiểm tra xem kết quả của bạn có hai hạng tử hay không. Sau đó thử so sánh với một biểu thức gần giống: với $y = e^{x^3}$, hãy chú ý rằng cấu trúc đã thay đổi, nên quy tắc dây chuyền sẽ là công cụ phù hợp hơn.