Regola del prodotto

La regola del prodotto ti dice come derivare due espressioni moltiplicate tra loro. Se $f$ e $g$ sono entrambe derivabili in $x$, allora

$$\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x).$$

Questa è la regola di derivazione per prodotti come $x^2\sin(x)$ e $x e^x$. Deriva una volta il primo fattore, poi una volta il secondo fattore, e somma i risultati.

Formula della regola del prodotto

Parti da

$$y = f(x)g(x)$$

Se entrambe le funzioni sono derivabili, allora

$$\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$

In parole semplici: deriva il primo e lascia invariato il secondo, poi lascia invariato il primo e deriva il secondo. La regola dipende dal fatto che entrambi i fattori cambiano con $x$.

Perché la regola del prodotto ha due termini

Quando si moltiplicano due quantità che cambiano, il prodotto può cambiare in due modi. Il primo fattore può cambiare mentre il secondo resta fisso in quel momento, oppure il secondo fattore può cambiare mentre il primo resta fisso.

Per questo la derivata ha due termini invece di uno solo.

Esempio svolto: $x^2\sin(x)$

Trova la derivata di

$$y = x^2 \sin(x)$$

Questo è il prodotto di due funzioni:

$$f(x) = x^2 \quad \text{e} \quad g(x) = \sin(x)$$

Deriva ciascun fattore:

$$f'(x) = 2x \quad \text{e} \quad g'(x) = \cos(x)$$

Applica la regola del prodotto:

$$\frac{dy}{dx} = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$ $$\frac{dy}{dx} = 2x\sin(x) + x^2\cos(x)$$

Quindi

$$\frac{d}{dx}\left(x^2\sin(x)\right) = 2x\sin(x) + x^2\cos(x).$$

Un errore comune è scrivere $2x\cos(x)$. Questo deriva dal derivare entrambi i fattori e moltiplicare i risultati, ma non è la regola del prodotto.

Errori comuni con la regola del prodotto

1. Scrivere $f'(x)g'(x)$. In generale, questa non è la derivata di $f(x)g(x)$.
2. Dimenticare un termine e scrivere solo $f'(x)g(x)$ oppure solo $f(x)g'(x)$.
3. Confondere la regola del prodotto con la regola della catena. $x^2\sin(x)$ è un prodotto, mentre $\sin(x^2)$ è una composizione.
4. Omettere le parentesi quando uno dei fattori è un'espressione più lunga, come $(x^2+1)e^x$.

Quando usare la regola del prodotto

Usa la regola del prodotto quando una funzione è scritta come un fattore derivabile moltiplicato per un altro fattore derivabile, ed entrambi dipendono da $x$. I casi più comuni includono:

1. Un polinomio per una funzione trigonometrica, come $x^3\cos(x)$
2. Un polinomio per un'esponenziale, come $x e^x$
3. Un prodotto con logaritmo, come $x\ln(x)$
4. Un prodotto in cui uno dei fattori richiede anche la regola della catena, come $x\sin(x^2)$

Se uno dei fattori è una costante, la regola si riduce alla regola del multiplo costante.

Un controllo rapido dopo aver derivato

Prima di semplificare, una risposta ottenuta con la regola del prodotto di solito ha due termini sommati. Se vedi subito un solo termine, controlla di non aver tralasciato una parte della derivata.

Prova una tua versione

Deriva $y = x^3 e^x$ e controlla se il tuo risultato ha due termini. Poi prova un confronto simile: per $y = e^{x^3}$, nota che la struttura è cambiata, quindi lì lo strumento migliore è la regola della catena.