곱의 미분법

곱의 미분법은 두 식이 곱해져 있을 때 어떻게 미분하는지 알려 줍니다. $f$와 $g$가 모두 $x$에서 미분 가능하면,

$$\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x).$$

이것은 $x^2\sin(x)$, $x e^x$ 같은 곱 형태에 쓰는 미분 공식입니다. 첫 번째 인수를 한 번 미분하고, 두 번째 인수를 한 번 미분한 뒤, 그 결과를 더하면 됩니다.

곱의 미분법 공식

다음에서 시작합니다.

$$y = f(x)g(x)$$

두 함수가 모두 미분 가능하면,

$$\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$

말로 하면, 첫 번째는 미분하고 두 번째는 그대로 두고, 그다음 첫 번째는 그대로 두고 두 번째를 미분합니다. 이 공식은 두 인수가 모두 $x$에 따라 변한다는 점에 기반합니다.

곱의 미분법에 항이 두 개인 이유

변하는 두 양을 곱하면, 그 곱은 두 가지 방식으로 변할 수 있습니다. 첫 번째 인수가 변하고 그 순간 두 번째 인수는 고정되어 있을 수 있고, 반대로 두 번째 인수가 변하고 첫 번째 인수는 고정되어 있을 수도 있습니다.

그래서 도함수에 항이 하나가 아니라 두 개가 들어갑니다.

풀이 예제: $x^2\sin(x)$

다음 함수의 도함수를 구해 봅시다.

$$y = x^2 \sin(x)$$

이것은 두 함수의 곱입니다.

$$f(x) = x^2 \quad \text{and} \quad g(x) = \sin(x)$$

각 인수를 미분하면,

$$f'(x) = 2x \quad \text{and} \quad g'(x) = \cos(x)$$

곱의 미분법을 적용합니다.

$$\frac{dy}{dx} = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$ $$\frac{dy}{dx} = 2x\sin(x) + x^2\cos(x)$$

따라서

$$\frac{d}{dx}\left(x^2\sin(x)\right) = 2x\sin(x) + x^2\cos(x).$$

흔한 오답은 $2x\cos(x)$입니다. 이는 두 인수를 각각 미분한 뒤 그 결과를 곱한 것으로, 곱의 미분법이 아닙니다.

곱의 미분법에서 자주 하는 실수

1. $f'(x)g'(x)$라고 쓰는 것. 일반적으로 이것은 $f(x)g(x)$의 도함수가 아닙니다.
2. 한 항을 빼먹고 $f'(x)g(x)$만 쓰거나 $f(x)g'(x)$만 쓰는 것.
3. 곱의 미분법과 연쇄법칙을 혼동하는 것. $x^2\sin(x)$는 곱이지만, $\sin(x^2)$는 합성함수입니다.
4. 한 인수가 $(x^2+1)e^x$처럼 더 긴 식일 때 괄호를 빠뜨리는 것.

언제 곱의 미분법을 써야 할까

함수가 미분 가능한 한 인수와 또 다른 미분 가능한 인수의 곱으로 쓰여 있고, 두 인수 모두 $x$에 의존할 때 곱의 미분법을 사용합니다. 대표적인 경우는 다음과 같습니다.

1. 다항식과 삼각함수의 곱, 예를 들어 $x^3\cos(x)$
2. 다항식과 지수함수의 곱, 예를 들어 $x e^x$
3. 로그함수와의 곱, 예를 들어 $x\ln(x)$
4. 한 인수에 연쇄법칙도 필요한 곱, 예를 들어 $x\sin(x^2)$

한 인수가 상수라면, 이 공식은 상수배 미분법으로 줄어듭니다.

미분한 뒤 빠르게 확인하는 방법

정리하기 전에는 곱의 미분법으로 얻은 답에 보통 더해진 두 항이 있습니다. 처음부터 항이 하나만 보인다면, 도함수의 일부를 빠뜨리지 않았는지 확인해 보세요.

직접 해 보기

$y = x^3 e^x$를 미분하고, 결과에 두 항이 있는지 확인해 보세요. 그리고 비슷한 식과 비교해 보세요. $y = e^{x^3}$에서는 구조가 바뀌므로, 이 경우에는 연쇄법칙이 더 적절한 도구입니다.