Tam giác đồng dạng — Đồng dạng AA, SAS và SSS

Tam giác đồng dạng là những tam giác có cùng hình dạng nhưng không nhất thiết có cùng kích thước. Trong một cặp tam giác đồng dạng, các góc tương ứng bằng nhau và các cạnh tương ứng tỉ lệ với nhau.

Lý do chính khiến kiến thức này quan trọng là tính ứng dụng: khi đã chứng minh được hai tam giác đồng dạng, chỉ cần một tỉ số đồng dạng là có thể tìm ra mọi cạnh tương ứng. Vì thế, tam giác đồng dạng xuất hiện nhiều trong chứng minh hình học, bản vẽ theo tỉ lệ và các bài toán về bóng.

Tam giác đồng dạng có nghĩa là gì

Nếu $\triangle ABC$ đồng dạng với $\triangle DEF$, thì thứ tự ký hiệu rất quan trọng. Nó cho biết góc $A$ ứng với góc $D$, góc $B$ ứng với góc $E$, và góc $C$ ứng với góc $F$.

Từ sự tương ứng đó, các cạnh tương ứng thỏa mãn

$$\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}$$

Các tỉ số này đều biểu diễn cùng một tỉ số đồng dạng. Nếu tỉ số đồng dạng từ $\triangle ABC$ đến $\triangle DEF$ là $2$, thì mỗi cạnh của $\triangle DEF$ sẽ dài gấp đôi cạnh tương ứng của $\triangle ABC$.

Cách hoạt động của đồng dạng AA, SAS và SSS

Đồng dạng AA

Nếu hai góc của một tam giác bằng hai góc của tam giác khác, thì hai tam giác đó đồng dạng.

Điều này đúng vì góc thứ ba cũng phải bằng nhau, do tổng ba góc trong mọi tam giác đều bằng $180^\circ$.

Đồng dạng SAS

Nếu hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ với nhau và góc xen giữa hai cạnh đó bằng nhau, thì hai tam giác đồng dạng.

Từ "xen giữa" rất quan trọng. Góc bằng nhau phải nằm giữa hai cạnh đang được so sánh. Nếu góc bằng nhau nằm ở vị trí khác, thì không thể áp dụng SAS.

Đồng dạng SSS

Nếu cả ba cặp cạnh tương ứng đều tỉ lệ với nhau, thì hai tam giác đồng dạng.

Đây thường là dấu hiệu gọn nhất khi đề bài không cho góc nào, nhưng chỉ đúng khi các cặp cạnh được ghép tương ứng chính xác.

Ví dụ có lời giải: dùng SAS để tìm cạnh còn thiếu

Giả sử hai tam giác có góc xen giữa đều bằng $40^\circ$. Trong tam giác nhỏ hơn, hai cạnh kề với góc đó là $6$ và $12$. Trong tam giác lớn hơn, hai cạnh tương ứng là $10$ và $20$.

Trước hết, kiểm tra các tỉ số cạnh:

$$\frac{6}{10} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$$

Vì góc xen giữa cũng bằng nhau, nên hai tam giác đồng dạng theo SAS.

Bây giờ giả sử cạnh thứ ba của tam giác nhỏ là $9$, và cạnh thứ ba tương ứng của tam giác lớn là $x$. Dùng tỉ số đồng dạng từ nhỏ đến lớn:

$$\frac{10}{6} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$$

Vậy

$$x = 9 \cdot \frac{5}{3} = 15$$

Cạnh còn thiếu là $15$. Ý chính không nằm ở phép tính. Điều quan trọng là cách thiết lập: trước hết chứng minh đồng dạng, rồi dùng một tỉ số đồng dạng nhất quán cho các cạnh tương ứng.

Những lỗi thường gặp khi chứng minh hai tam giác đồng dạng

Nhầm lẫn giữa đồng dạng và bằng nhau

Tam giác đồng dạng có cùng hình dạng. Tam giác bằng nhau có cùng hình dạng và cùng kích thước. Tam giác bằng nhau là một trường hợp đặc biệt của tam giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng bằng $1$.

Dùng sai các cặp cạnh

Một tỉ lệ đúng chỉ dùng các cạnh tương ứng. Nếu thứ tự đỉnh bị sai, phép biến đổi đại số có thể trông vẫn hợp lý nhưng cách thiết lập vẫn sai.

Đảo một tỉ số nhưng không đảo các tỉ số khác

Nếu bạn viết một tỉ số theo thứ tự từ nhỏ đến lớn, thì các tỉ số còn lại cũng phải theo thứ tự từ nhỏ đến lớn. Trộn lẫn hai chiều trong cùng một phương trình sẽ dẫn đến đáp án sai dù hai tam giác thực sự đồng dạng.

Coi SSA là một dấu hiệu đồng dạng

AA, SAS và SSS là các dấu hiệu đồng dạng hợp lệ. SSA nói chung không đủ để kết luận, vì cùng một dữ kiện cạnh có thể tạo ra nhiều hơn một tam giác.

Quên rằng diện tích thay đổi theo cách khác

Nếu độ dài các cạnh thay đổi theo hệ số $k$, thì diện tích sẽ thay đổi theo hệ số $k^2$. Một tam giác rộng gấp đôi không có nghĩa là diện tích chỉ gấp đôi.

Tam giác đồng dạng được dùng ở đâu

Tam giác đồng dạng xuất hiện trong hình học, bản đồ, bản vẽ theo tỉ lệ, bóng, đo đạc và hình học tọa độ. Chúng đặc biệt hữu ích khi một tam giác dễ đo hơn tam giác kia nhưng hai hình có cùng dạng.

Bạn cũng sẽ gặp chúng trong các chứng minh lớn hơn. Định lý Pythagore, các hệ thức về đường cao trong tam giác vuông và một số ý tưởng trong lượng giác đều trở nên dễ hơn khi nhận ra tính đồng dạng.

Hãy thử một bài tương tự

Hãy tự thử một phiên bản khác với các cặp cạnh $8$ và $12$ ở một tam giác, và $14$ và $21$ ở tam giác kia, trong đó góc xen giữa bằng nhau ở cả hai tam giác. Trước hết hãy chứng minh đồng dạng, rồi tìm cạnh thứ ba tương ứng nếu cạnh ở tam giác nhỏ là $10$.

Nếu muốn đi tiếp một cách tự nhiên, hãy thử giải một bài tương tự mà trước tiên bạn phải quyết định xem dữ kiện phù hợp với AA, SAS hay SSS trước khi lập bất kỳ tỉ lệ nào.