Ähnliche Dreiecke — Ähnlichkeit mit AA, SAS und SSS

Ähnliche Dreiecke sind Dreiecke mit derselben Form, aber nicht unbedingt derselben Größe. Bei einem ähnlichen Paar sind entsprechende Winkel gleich und entsprechende Seiten proportional.

Warum das wichtig ist, ist vor allem praktisch: Sobald du bewiesen hast, dass zwei Dreiecke ähnlich sind, kannst du mit einem einzigen Streckfaktor jede passende Seite bestimmen. Deshalb tauchen ähnliche Dreiecke in Geometriebeweisen, maßstabsgetreuen Zeichnungen und Schattenaufgaben auf.

Was ähnliche Dreiecke bedeuten

Wenn $\triangle ABC$ ähnlich zu $\triangle DEF$ ist, dann ist die Reihenfolge wichtig. Sie sagt dir, dass Winkel $A$ zu Winkel $D$ gehört, Winkel $B$ zu Winkel $E$ und Winkel $C$ zu Winkel $F$.

Aus dieser Zuordnung folgt für die entsprechenden Seiten:

$$\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}$$

Diese Verhältnisse beschreiben alle denselben Streckfaktor. Wenn der Streckfaktor von $\triangle ABC$ zu $\triangle DEF$ gleich $2$ ist, dann ist jede Seite in $\triangle DEF$ doppelt so lang wie die entsprechende Seite in $\triangle ABC$.

So funktionieren AA-, SAS- und SSS-Ähnlichkeit

AA-Ähnlichkeit

Wenn zwei Winkel eines Dreiecks mit zwei Winkeln eines anderen Dreiecks übereinstimmen, dann sind die Dreiecke ähnlich.

Das funktioniert, weil dann auch die dritten Winkel übereinstimmen müssen, da die Winkel in jedem Dreieck zusammen $180^\circ$ ergeben.

SAS-Ähnlichkeit

Wenn zwei Paare entsprechender Seiten proportional sind und der eingeschlossene Winkel zwischen diesen Seiten gleich ist, dann sind die Dreiecke ähnlich.

Das Wort „eingeschlossen“ ist wichtig. Der gleiche Winkel muss zwischen den beiden Seiten liegen, die du vergleichst. Liegt der gleiche Winkel woanders, dann ist SAS nicht anwendbar.

SSS-Ähnlichkeit

Wenn alle drei Paare entsprechender Seiten proportional sind, dann sind die Dreiecke ähnlich.

Das ist oft das einfachste Kriterium, wenn keine Winkel gegeben sind, aber nur dann, wenn die Seitenpaare richtig zugeordnet werden.

Beispiel: Mit SAS eine fehlende Seite finden

Angenommen, zwei Dreiecke haben einen eingeschlossenen Winkel von $40^\circ$. Im kleineren Dreieck sind die Seiten an diesem Winkel $6$ und $12$. Im größeren Dreieck sind die entsprechenden Seiten $10$ und $20$.

Prüfe zuerst die Seitenverhältnisse:

$$\frac{6}{10} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$$

Da auch der eingeschlossene Winkel gleich ist, sind die Dreiecke nach SAS ähnlich.

Nehmen wir nun an, die dritte Seite des kleineren Dreiecks ist $9$ und die entsprechende dritte Seite des größeren Dreiecks ist $x$. Verwende den Streckfaktor von klein nach groß:

$$\frac{10}{6} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$$

Also gilt:

$$x = 9 \cdot \frac{5}{3} = 15$$

Die fehlende Seite ist $15$. Die wichtigste Idee ist nicht die Rechnung. Entscheidend ist der Ansatz: erst Ähnlichkeit beweisen, dann einen einheitlichen Streckfaktor auf entsprechende Seiten anwenden.

Häufige Fehler beim Nachweis ähnlicher Dreiecke

Ähnlich und kongruent verwechseln

Ähnliche Dreiecke haben dieselbe Form. Kongruente Dreiecke haben dieselbe Form und dieselbe Größe. Kongruente Dreiecke sind ein Spezialfall ähnlicher Dreiecke mit dem Streckfaktor $1$.

Die falschen Seitenpaare verwenden

Eine richtige Proportion verwendet nur entsprechende Seiten. Wenn die Reihenfolge der Eckpunkte falsch ist, kann die Algebra ordentlich aussehen, obwohl der Ansatz trotzdem falsch ist.

Ein Verhältnis umdrehen, die anderen aber nicht

Wenn du ein Verhältnis als klein zu groß schreibst, dann müssen die anderen Verhältnisse ebenfalls klein zu groß sein. Unterschiedliche Richtungen in derselben Gleichung führen zu falschen Ergebnissen, selbst wenn die Dreiecke tatsächlich ähnlich sind.

SSA als Ähnlichkeitskriterium behandeln

AA, SAS und SSS sind gültige Ähnlichkeitskriterien. SSA reicht im Allgemeinen allein nicht aus, weil dieselben Seitenangaben zu mehr als einem Dreieck passen können.

Vergessen, dass Flächen anders skaliert werden

Wenn Seitenlängen mit dem Faktor $k$ skaliert werden, dann skalieren Flächen mit dem Faktor $k^2$. Ein Dreieck, das doppelt so breit ist, hat nicht nur die doppelte Fläche.

Wo ähnliche Dreiecke verwendet werden

Ähnliche Dreiecke kommen in der Geometrie, bei Karten, maßstabsgetreuen Zeichnungen, Schatten, Vermessung und analytischer Geometrie vor. Sie sind besonders nützlich, wenn ein Dreieck leichter zu messen ist als ein anderes, die Formen aber übereinstimmen.

Du siehst sie auch in größeren Beweisen. Der Satz des Pythagoras, Höhenbeziehungen im rechtwinkligen Dreieck und einige Ideen aus der Trigonometrie werden viel einfacher, sobald man Ähnlichkeit erkennt.

Probiere eine ähnliche Aufgabe

Probiere deine eigene Variante mit den Seitenpaaren $8$ und $12$ in einem Dreieck und $14$ und $21$ in einem anderen, wobei der eingeschlossene Winkel in beiden Dreiecken gleich ist. Beweise zuerst die Ähnlichkeit und bestimme dann die entsprechende dritte Seite, wenn die kleinere $10$ ist.

Wenn du einen natürlichen nächsten Schritt suchst, versuche eine ähnliche Aufgabe, bei der du zuerst entscheiden musst, ob die Angaben zu AA, SAS oder SSS passen, bevor du überhaupt eine Proportion aufstellst.