Όμοια τρίγωνα — Ομοιότητα AA, SAS & SSS

Όμοια τρίγωνα είναι τρίγωνα με το ίδιο σχήμα, αλλά όχι απαραίτητα το ίδιο μέγεθος. Σε ένα ζεύγος όμοιων τριγώνων, οι αντίστοιχες γωνίες είναι ίσες και οι αντίστοιχες πλευρές είναι ανάλογες.

Ο βασικός λόγος που αυτό έχει σημασία είναι πρακτικός: μόλις αποδείξεις ότι δύο τρίγωνα είναι όμοια, ένας συντελεστής κλίμακας αρκεί για να βρεις κάθε αντίστοιχη πλευρά. Γι’ αυτό τα όμοια τρίγωνα εμφανίζονται σε αποδείξεις στη γεωμετρία, σε σχέδια υπό κλίμακα και σε προβλήματα με σκιές.

Τι σημαίνουν τα όμοια τρίγωνα

Αν $\triangle ABC$ είναι όμοιο με το $\triangle DEF$, τότε η σειρά έχει σημασία. Αυτό σημαίνει ότι η γωνία $A$ αντιστοιχεί στη γωνία $D$, η γωνία $B$ στη γωνία $E$ και η γωνία $C$ στη γωνία $F$.

Από αυτή την αντιστοίχιση, οι αντίστοιχες πλευρές ικανοποιούν

$$\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}$$

Αυτοί οι λόγοι περιγράφουν όλοι τον ίδιο συντελεστή κλίμακας. Αν ο συντελεστής κλίμακας από το $\triangle ABC$ προς το $\triangle DEF$ είναι $2$, τότε κάθε πλευρά του $\triangle DEF$ είναι διπλάσια από την αντίστοιχη πλευρά του $\triangle ABC$.

Πώς λειτουργεί η ομοιότητα AA, SAS και SSS

Ομοιότητα AA

Αν δύο γωνίες του ενός τριγώνου είναι ίσες με δύο γωνίες ενός άλλου τριγώνου, τότε τα τρίγωνα είναι όμοια.

Αυτό ισχύει επειδή και οι τρίτες γωνίες πρέπει επίσης να είναι ίσες, αφού οι γωνίες κάθε τριγώνου έχουν άθροισμα $180^\circ$.

Ομοιότητα SAS

Αν δύο ζεύγη αντίστοιχων πλευρών είναι ανάλογα και η περιεχόμενη γωνία ανάμεσα σε αυτές τις πλευρές είναι ίση, τότε τα τρίγωνα είναι όμοια.

Η λέξη «περιεχόμενη» έχει σημασία. Η ίση γωνία πρέπει να βρίσκεται ανάμεσα στις δύο πλευρές που συγκρίνεις. Αν η ίση γωνία βρίσκεται αλλού, τότε το SAS δεν εφαρμόζεται.

Ομοιότητα SSS

Αν και τα τρία ζεύγη αντίστοιχων πλευρών είναι ανάλογα, τότε τα τρίγωνα είναι όμοια.

Αυτό είναι συχνά το πιο καθαρό κριτήριο όταν δεν δίνονται γωνίες, αλλά μόνο αν τα ζεύγη των πλευρών έχουν αντιστοιχιστεί σωστά.

Λυμένο παράδειγμα: χρησιμοποίησε το SAS για να βρεις μια άγνωστη πλευρά

Έστω ότι δύο τρίγωνα έχουν περιεχόμενη γωνία $40^\circ$. Στο μικρότερο τρίγωνο, οι πλευρές γύρω από αυτή τη γωνία είναι $6$ και $12$. Στο μεγαλύτερο τρίγωνο, οι αντίστοιχες πλευρές είναι $10$ και $20$.

Πρώτα έλεγξε τους λόγους των πλευρών:

$$\frac{6}{10} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$$

Αφού και η περιεχόμενη γωνία είναι ίση, τα τρίγωνα είναι όμοια με το κριτήριο SAS.

Τώρα έστω ότι η τρίτη πλευρά του μικρότερου τριγώνου είναι $9$, και η αντίστοιχη τρίτη πλευρά του μεγαλύτερου τριγώνου είναι $x$. Χρησιμοποίησε τον συντελεστή κλίμακας από το μικρό προς το μεγάλο:

$$\frac{10}{6} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$$

Άρα

$$x = 9 \cdot \frac{5}{3} = 15$$

Η άγνωστη πλευρά είναι $15$. Η βασική ιδέα δεν είναι η αριθμητική πράξη. Είναι το στήσιμο: πρώτα αποδεικνύεις την ομοιότητα και μετά χρησιμοποιείς έναν σταθερό συντελεστή κλίμακας στις αντίστοιχες πλευρές.

Συνηθισμένα λάθη όταν αποδεικνύεις ότι τρίγωνα είναι όμοια

Μπέρδεμα ανάμεσα σε όμοια και ίσα τρίγωνα

Τα όμοια τρίγωνα έχουν το ίδιο σχήμα. Τα ίσα τρίγωνα έχουν το ίδιο σχήμα και το ίδιο μέγεθος. Τα ίσα τρίγωνα είναι ειδική περίπτωση όμοιων τριγώνων με συντελεστή κλίμακας $1$.

Χρήση λάθος ζευγών πλευρών

Μια σωστή αναλογία χρησιμοποιεί μόνο αντίστοιχες πλευρές. Αν η σειρά των κορυφών είναι λάθος, η άλγεβρα μπορεί να φαίνεται σωστή ενώ το στήσιμο παραμένει λάθος.

Αντιστροφή ενός λόγου αλλά όχι των άλλων

Αν γράψεις έναν λόγο από μικρό προς μεγάλο, τότε και οι άλλοι λόγοι πρέπει επίσης να είναι από μικρό προς μεγάλο. Η ανάμειξη κατευθύνσεων στην ίδια εξίσωση οδηγεί σε λάθος απαντήσεις, ακόμη κι όταν τα τρίγωνα είναι πράγματι όμοια.

Αντιμετώπιση του SSA ως κριτηρίου ομοιότητας

Τα AA, SAS και SSS είναι έγκυρα κριτήρια ομοιότητας. Το SSA γενικά δεν αρκεί από μόνο του, επειδή τα ίδια δεδομένα πλευρών μπορούν να αντιστοιχούν σε περισσότερα από ένα τρίγωνα.

Ξεχνώντας ότι το εμβαδό κλιμακώνεται διαφορετικά

Αν τα μήκη των πλευρών κλιμακώνονται με παράγοντα $k$, τότε τα εμβαδά κλιμακώνονται με παράγοντα $k^2$. Ένα τρίγωνο που είναι δύο φορές πιο πλατύ δεν έχει απλώς διπλάσιο εμβαδό.

Πού χρησιμοποιούνται τα όμοια τρίγωνα

Τα όμοια τρίγωνα εμφανίζονται στη γεωμετρία, στους χάρτες, στα σχέδια υπό κλίμακα, στις σκιές, στην τοπογραφία και στην αναλυτική γεωμετρία. Είναι ιδιαίτερα χρήσιμα όταν το ένα τρίγωνο είναι πιο εύκολο να μετρηθεί από το άλλο, αλλά τα σχήματα ταιριάζουν.

Τα συναντάς και μέσα σε μεγαλύτερες αποδείξεις. Το Πυθαγόρειο θεώρημα, οι σχέσεις ύψους σε ορθογώνιο τρίγωνο και ορισμένες ιδέες της τριγωνομετρίας γίνονται πιο εύκολες μόλις αναγνωριστεί η ομοιότητα.

Δοκίμασε ένα παρόμοιο πρόβλημα

Δοκίμασε τη δική σου εκδοχή με ζεύγη πλευρών $8$ και $12$ στο ένα τρίγωνο και $14$ και $21$ σε ένα άλλο, με την περιεχόμενη γωνία ίση και στα δύο τρίγωνα. Πρώτα απόδειξε την ομοιότητα και μετά βρες την αντίστοιχη τρίτη πλευρά, αν η μικρότερη είναι $10$.

Αν θέλεις ένα φυσικό επόμενο βήμα, δοκίμασε να λύσεις ένα παρόμοιο πρόβλημα όπου πρέπει πρώτα να αποφασίσεις αν οι πληροφορίες ταιριάζουν στο AA, στο SAS ή στο SSS πριν στήσεις οποιαδήποτε αναλογία.