Triangles semblables — similitude AA, SAS et SSS

Des triangles semblables sont des triangles qui ont la même forme, mais pas forcément la même taille. Dans une paire de triangles semblables, les angles correspondants sont égaux et les côtés correspondants sont proportionnels.

L’intérêt principal est pratique : une fois que vous avez prouvé que deux triangles sont semblables, un seul coefficient d’échelle permet de trouver tous les côtés correspondants. C’est pourquoi les triangles semblables apparaissent dans les démonstrations de géométrie, les dessins à l’échelle et les problèmes d’ombres.

Ce que signifie « triangles semblables »

Si $\triangle ABC$ est semblable à $\triangle DEF$, alors l’ordre compte. Cela signifie que l’angle $A$ correspond à l’angle $D$, l’angle $B$ à l’angle $E$ et l’angle $C$ à l’angle $F$.

À partir de cette correspondance, les côtés correspondants vérifient

$$\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}$$

Ces rapports décrivent tous le même coefficient d’échelle. Si le coefficient d’échelle de $\triangle ABC$ vers $\triangle DEF$ est $2$, alors chaque côté de $\triangle DEF$ mesure deux fois le côté correspondant de $\triangle ABC$.

Comment fonctionnent les critères de similitude AA, SAS et SSS

Similitude AA

Si deux angles d’un triangle sont égaux à deux angles d’un autre triangle, alors les triangles sont semblables.

Cela fonctionne parce que les troisièmes angles sont aussi forcément égaux, puisque la somme des angles d’un triangle vaut $180^\circ$.

Similitude SAS

Si deux paires de côtés correspondants sont proportionnelles et que l’angle compris entre ces côtés est égal, alors les triangles sont semblables.

Le mot « compris » est important. L’angle égal doit être situé entre les deux côtés que vous comparez. Si l’angle égal se trouve ailleurs, le critère SAS ne s’applique pas.

Similitude SSS

Si les trois paires de côtés correspondants sont proportionnelles, alors les triangles sont semblables.

C’est souvent le critère le plus simple quand aucun angle n’est donné, mais seulement si les paires de côtés sont correctement associées.

Exemple résolu : utiliser SAS pour trouver un côté manquant

Supposons que deux triangles aient un angle compris de $40^\circ$. Dans le plus petit triangle, les côtés autour de cet angle mesurent $6$ et $12$. Dans le plus grand triangle, les côtés correspondants mesurent $10$ et $20$.

Commencez par vérifier les rapports des côtés :

$$\frac{6}{10} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$$

Comme l’angle compris est aussi égal, les triangles sont semblables d’après le critère SAS.

Supposons maintenant que le troisième côté du petit triangle mesure $9$, et que le troisième côté correspondant du grand triangle soit $x$. Utilisez le coefficient d’échelle du petit vers le grand :

$$\frac{10}{6} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$$

Donc

$$x = 9 \cdot \frac{5}{3} = 15$$

Le côté manquant est $15$. L’idée essentielle n’est pas le calcul. C’est la mise en place : prouvez d’abord la similitude, puis utilisez un seul coefficient d’échelle cohérent sur les côtés correspondants.

Erreurs fréquentes quand on prouve que des triangles sont semblables

Confondre semblables et congruents

Des triangles semblables ont la même forme. Des triangles congruents ont la même forme et la même taille. Les triangles congruents sont un cas particulier de triangles semblables avec un coefficient d’échelle égal à $1$.

Utiliser les mauvaises paires de côtés

Une proportion correcte utilise seulement des côtés correspondants. Si l’ordre des sommets est faux, l’algèbre peut sembler correcte alors que la mise en place est erronée.

Inverser un rapport sans inverser les autres

Si vous écrivez un rapport du petit vers le grand, alors les autres rapports doivent aussi aller du petit vers le grand. Mélanger les sens dans une même équation donne de mauvaises réponses, même si les triangles sont bien semblables.

Considérer SSA comme un critère de similitude

AA, SAS et SSS sont des critères de similitude valides. SSA ne suffit pas à lui seul en général, car les mêmes données sur les côtés peuvent correspondre à plus d’un triangle.

Oublier que les aires changent autrement

Si les longueurs sont multipliées par un facteur $k$, alors les aires sont multipliées par un facteur $k^2$. Un triangle deux fois plus large n’a pas seulement une aire deux fois plus grande.

Où les triangles semblables sont utilisés

Les triangles semblables apparaissent en géométrie, sur les cartes, dans les dessins à l’échelle, les ombres, l’arpentage et la géométrie analytique. Ils sont particulièrement utiles lorsqu’un triangle est plus facile à mesurer qu’un autre, mais que les formes correspondent.

On les retrouve aussi dans des démonstrations plus longues. Le théorème de Pythagore, les relations liées à la hauteur dans le triangle rectangle et certaines idées de trigonométrie deviennent plus simples dès qu’on reconnaît une situation de similitude.

Essayez un problème du même type

Essayez votre propre version avec des paires de côtés $8$ et $12$ dans un triangle, et $14$ et $21$ dans un autre, avec l’angle compris égal dans les deux triangles. Commencez par prouver la similitude, puis trouvez le troisième côté correspondant si celui du plus petit triangle vaut $10$.

Si vous voulez une suite naturelle, essayez un problème semblable dans lequel vous devez d’abord décider si les informations relèvent de AA, SAS ou SSS avant d’écrire la moindre proportion.