Trójkąty podobne — podobieństwo AA, SAS i SSS

Trójkąty podobne to trójkąty o tym samym kształcie, ale niekoniecznie tej samej wielkości. W parze trójkątów podobnych odpowiadające sobie kąty są równe, a odpowiadające sobie boki są proporcjonalne.

Najważniejsze jest to, że ma to praktyczne zastosowanie: gdy wykażesz, że dwa trójkąty są podobne, jeden współczynnik skali pozwala wyznaczyć wszystkie odpowiadające sobie boki. Dlatego trójkąty podobne pojawiają się w dowodach geometrycznych, rysunkach w skali i zadaniach z cieniami.

Co oznaczają trójkąty podobne

Jeśli $\triangle ABC$ jest podobny do $\triangle DEF$, to kolejność ma znaczenie. Oznacza to, że kąt $A$ odpowiada kątowi $D$, kąt $B$ odpowiada kątowi $E$, a kąt $C$ odpowiada kątowi $F$.

Z tego dopasowania wynika, że odpowiadające sobie boki spełniają zależność

$$\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}$$

Te ilorazy opisują ten sam współczynnik skali. Jeśli współczynnik skali z $\triangle ABC$ do $\triangle DEF$ wynosi $2$, to każdy bok w $\triangle DEF$ jest dwa razy dłuższy od odpowiadającego mu boku w $\triangle ABC$.

Jak działa podobieństwo AA, SAS i SSS

Podobieństwo AA

Jeśli dwa kąty jednego trójkąta są równe dwóm kątom drugiego trójkąta, to trójkąty są podobne.

To działa, ponieważ trzecie kąty też muszą być równe, gdyż suma kątów w każdym trójkącie wynosi $180^\circ$.

Podobieństwo SAS

Jeśli dwie pary odpowiadających sobie boków są proporcjonalne, a kąt zawarty między tymi bokami jest równy, to trójkąty są podobne.

Słowo „zawarty” ma tu znaczenie. Równy kąt musi leżeć między dwoma bokami, które porównujesz. Jeśli równy kąt znajduje się gdzie indziej, cecha SAS nie ma zastosowania.

Podobieństwo SSS

Jeśli wszystkie trzy pary odpowiadających sobie boków są proporcjonalne, to trójkąty są podobne.

To często najprostsza cecha, gdy nie podano żadnych kątów, ale tylko wtedy, gdy pary boków zostały poprawnie dopasowane.

Przykład: użycie SAS do wyznaczenia brakującego boku

Załóżmy, że dwa trójkąty mają kąt zawarty równy $40^\circ$. W mniejszym trójkącie boki przy tym kącie mają długości $6$ i $12$. W większym trójkącie odpowiadające im boki mają długości $10$ i $20$.

Najpierw sprawdź stosunki boków:

$$\frac{6}{10} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$$

Ponieważ kąt zawarty też jest równy, trójkąty są podobne na mocy cechy SAS.

Załóżmy teraz, że trzeci bok mniejszego trójkąta ma długość $9$, a odpowiadający mu trzeci bok większego trójkąta ma długość $x$. Użyj współczynnika skali od mniejszego do większego:

$$\frac{10}{6} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$$

Zatem

$$x = 9 \cdot \frac{5}{3} = 15$$

Brakujący bok ma długość $15$. Najważniejsza nie jest tu sama arytmetyka. Kluczowe jest poprawne ustawienie rozwiązania: najpierw wykaż podobieństwo, a potem użyj jednego spójnego współczynnika skali dla odpowiadających sobie boków.

Typowe błędy przy wykazywaniu podobieństwa trójkątów

Mylenie podobieństwa z przystawaniem

Trójkąty podobne mają ten sam kształt. Trójkąty przystające mają ten sam kształt i tę samą wielkość. Trójkąty przystające są szczególnym przypadkiem trójkątów podobnych ze współczynnikiem skali $1$.

Używanie niewłaściwych par boków

Poprawna proporcja wykorzystuje tylko odpowiadające sobie boki. Jeśli kolejność wierzchołków jest błędna, rachunki mogą wyglądać poprawnie, mimo że całe ustawienie zadania jest złe.

Odwrócenie jednego stosunku, ale nie pozostałych

Jeśli zapisujesz jeden stosunek jako mniejszy do większego, to pozostałe stosunki też muszą być zapisane jako mniejszy do większego. Mieszanie kierunków w tym samym równaniu prowadzi do błędnych odpowiedzi, nawet gdy trójkąty rzeczywiście są podobne.

Traktowanie SSA jako cechy podobieństwa

AA, SAS i SSS to poprawne cechy podobieństwa. SSA samo w sobie na ogół nie wystarcza, ponieważ te same dane o bokach mogą pasować do więcej niż jednego trójkąta.

Zapominanie, że pola skalują się inaczej

Jeśli długości boków zmieniają się w skali $k$, to pola zmieniają się w skali $k^2$. Trójkąt dwa razy szerszy nie ma tylko dwa razy większego pola.

Gdzie wykorzystuje się trójkąty podobne

Trójkąty podobne pojawiają się w geometrii, na mapach, w rysunkach w skali, przy cieniach, w geodezji i w geometrii analitycznej. Są szczególnie przydatne wtedy, gdy jeden trójkąt łatwiej zmierzyć niż drugi, ale kształty są takie same.

Występują też w większych dowodach. Twierdzenie Pitagorasa, zależności związane z wysokością w trójkącie prostokątnym i niektóre zagadnienia z trygonometrii stają się prostsze, gdy rozpozna się podobieństwo.

Spróbuj podobnego zadania

Spróbuj własnej wersji z parami boków $8$ i $12$ w jednym trójkącie oraz $14$ i $21$ w drugim, przy założeniu, że kąt zawarty jest równy w obu trójkątach. Najpierw wykaż podobieństwo, a potem wyznacz odpowiadający trzeci bok, jeśli w mniejszym trójkącie ma on długość $10$.

Jeśli chcesz zrobić naturalny kolejny krok, spróbuj rozwiązać podobne zadanie, w którym najpierw trzeba zdecydować, czy podane informacje pasują do AA, SAS czy SSS, zanim zapiszesz jakąkolwiek proporcję.