สามเหลี่ยมคล้าย — ความคล้ายแบบ AA, SAS และ SSS

สามเหลี่ยมคล้ายคือสามเหลี่ยมที่มีรูปร่างเหมือนกัน แต่ไม่จำเป็นต้องมีขนาดเท่ากัน ในคู่ของสามเหลี่ยมคล้าย มุมคู่สมนัยจะเท่ากัน และด้านคู่สมนัยจะเป็นสัดส่วนกัน

เหตุผลหลักที่เรื่องนี้สำคัญคือใช้ได้จริง: เมื่อพิสูจน์ได้ว่าสามเหลี่ยมสองรูปคล้ายกันแล้ว ตัวคูณสเกลเพียงค่าเดียวก็ช่วยหาด้านคู่สมนัยทั้งหมดได้ นี่จึงเป็นเหตุผลที่สามเหลี่ยมคล้ายปรากฏในโจทย์พิสูจน์เรขาคณิต แบบรูปย่อส่วน และโจทย์เงา

สามเหลี่ยมคล้ายหมายความว่าอย่างไร

ถ้า $\triangle ABC$ คล้ายกับ $\triangle DEF$ ลำดับของชื่อจุดยอดมีความสำคัญ เพราะมันบอกว่ามุม $A$ ตรงกับมุม $D$ มุม $B$ ตรงกับมุม $E$ และมุม $C$ ตรงกับมุม $F$

จากการจับคู่นี้ ด้านคู่สมนัยจะเป็นไปตามความสัมพันธ์

$$\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}$$

อัตราส่วนเหล่านี้ทั้งหมดอธิบายตัวคูณสเกลเดียวกัน ถ้าตัวคูณสเกลจาก $\triangle ABC$ ไปยัง $\triangle DEF$ เท่ากับ $2$ ด้านแต่ละด้านใน $\triangle DEF$ ก็จะยาวเป็นสองเท่าของด้านที่ตรงกันใน $\triangle ABC$

ความคล้ายแบบ AA, SAS และ SSS ทำงานอย่างไร

ความคล้ายแบบ AA

ถ้ามุมสองมุมของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากับมุมสองมุมของอีกสามเหลี่ยมหนึ่ง สามเหลี่ยมทั้งสองจะคล้ายกัน

เหตุผลคือมุมที่สามต้องเท่ากันด้วย เพราะมุมภายในของสามเหลี่ยมใด ๆ รวมกันได้ $180^\circ$

ความคล้ายแบบ SAS

ถ้าด้านคู่สมนัยสองคู่เป็นสัดส่วนกัน และมุมแทรกระหว่างด้านทั้งสองนั้นเท่ากัน สามเหลี่ยมทั้งสองจะคล้ายกัน

คำว่า "มุมแทรก" สำคัญมาก มุมที่เท่ากันต้องอยู่ระหว่างด้านสองด้านที่กำลังเปรียบเทียบ ถ้ามุมที่เท่ากันอยู่ตำแหน่งอื่น จะใช้ SAS ไม่ได้

ความคล้ายแบบ SSS

ถ้าด้านคู่สมนัยทั้งสามคู่เป็นสัดส่วนกัน สามเหลี่ยมทั้งสองจะคล้ายกัน

วิธีนี้มักเป็นการทดสอบที่ตรงที่สุดเมื่อโจทย์ไม่ได้ให้มุมมา แต่จะใช้ได้ก็ต่อเมื่อจับคู่ด้านได้ถูกต้องเท่านั้น

ตัวอย่างโจทย์: ใช้ SAS หาด้านที่หายไป

สมมติว่าสามเหลี่ยมสองรูปมีมุมแทรกเท่ากับ $40^\circ$ ในสามเหลี่ยมรูปเล็ก ด้านที่อยู่รอบมุมนั้นยาว $6$ และ $12$ ในสามเหลี่ยมรูปใหญ่ ด้านที่ตรงกันยาว $10$ และ $20$

เริ่มจากตรวจสอบอัตราส่วนของด้าน:

$$\frac{6}{10} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$$

เนื่องจากมุมแทรกก็เท่ากันด้วย สามเหลี่ยมทั้งสองจึงคล้ายกันโดย SAS

ตอนนี้สมมติว่าด้านที่สามของสามเหลี่ยมรูปเล็กยาว $9$ และด้านที่สามที่ตรงกันของสามเหลี่ยมรูปใหญ่คือ $x$ ใช้ตัวคูณสเกลจากรูปเล็กไปหารูปใหญ่:

$$\frac{10}{6} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$$

ดังนั้น

$$x = 9 \cdot \frac{5}{3} = 15$$

ด้านที่หายไปคือ $15$ แนวคิดสำคัญไม่ใช่แค่การคำนวณ แต่คือการตั้งโจทย์ให้ถูก: พิสูจน์ความคล้ายก่อน แล้วจึงใช้ตัวคูณสเกลเดียวกันอย่างสม่ำเสมอกับด้านคู่สมนัย

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเมื่อพิสูจน์ว่าสามเหลี่ยมคล้ายกัน

สับสนระหว่างสามเหลี่ยมคล้ายกับสามเหลี่ยมเท่ากันทุกประการ

สามเหลี่ยมคล้ายมีรูปร่างเหมือนกัน ส่วนสามเหลี่ยมเท่ากันทุกประการมีทั้งรูปร่างเหมือนกันและขนาดเท่ากัน สามเหลี่ยมเท่ากันทุกประการเป็นกรณีพิเศษของสามเหลี่ยมคล้ายที่มีตัวคูณสเกลเท่ากับ $1$

ใช้คู่ด้านผิด

สัดส่วนที่ถูกต้องต้องใช้เฉพาะด้านคู่สมนัยเท่านั้น ถ้าลำดับจุดยอดผิด พีชคณิตอาจดูเรียบร้อย แต่การตั้งโจทย์ยังผิดอยู่

กลับอัตราส่วนเพียงบางตัว

ถ้าเขียนอัตราส่วนหนึ่งเป็น รูปเล็กต่อรูปใหญ่ อัตราส่วนอื่น ๆ ก็ต้องเป็น รูปเล็กต่อรูปใหญ่ เช่นกัน การสลับทิศทางปนกันในสมการเดียวทำให้ได้คำตอบผิด แม้ว่าสามเหลี่ยมจะคล้ายกันจริงก็ตาม

คิดว่า SSA เป็นเกณฑ์พิสูจน์ความคล้าย

AA, SAS และ SSS เป็นเกณฑ์พิสูจน์ความคล้ายที่ใช้ได้ แต่ SSA โดยทั่วไปยังไม่เพียงพอ เพราะข้อมูลด้านแบบเดียวกันอาจสร้างได้มากกว่าหนึ่งสามเหลี่ยม

ลืมว่าพื้นที่เปลี่ยนตามสเกลไม่เหมือนด้าน

ถ้าความยาวด้านเปลี่ยนตามตัวคูณ $k$ พื้นที่จะเปลี่ยนตามตัวคูณ $k^2$ สามเหลี่ยมที่กว้างขึ้นเป็นสองเท่า ไม่ได้หมายความว่าพื้นที่จะมากขึ้นแค่สองเท่า

สามเหลี่ยมคล้ายถูกนำไปใช้ที่ไหน

สามเหลี่ยมคล้ายพบได้ในเรขาคณิต แผนที่ แบบรูปย่อส่วน เงา การสำรวจรังวัด และเรขาคณิตวิเคราะห์ มีประโยชน์มากโดยเฉพาะเมื่อสามเหลี่ยมรูปหนึ่งวัดได้ง่ายกว่าอีกรูปหนึ่ง แต่ทั้งสองมีรูปร่างตรงกัน

คุณยังจะพบแนวคิดนี้อยู่ในบทพิสูจน์ที่ใหญ่ขึ้นด้วย ทฤษฎีพีทาโกรัส ความสัมพันธ์ของเส้นสูงในสามเหลี่ยมมุมฉาก และแนวคิดบางส่วนในตรีโกณมิติ จะเข้าใจง่ายขึ้นเมื่อมองเห็นความคล้าย

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

ลองสร้างโจทย์ของตัวเองโดยใช้คู่ด้าน $8$ และ $12$ ในสามเหลี่ยมหนึ่ง และ $14$ กับ $21$ ในอีกสามเหลี่ยมหนึ่ง โดยให้มุมแทรกเท่ากันทั้งสองรูป เริ่มจากพิสูจน์ความคล้าย แล้วหาด้านที่สามที่ตรงกัน ถ้าด้านของรูปเล็กยาว $10$

ถ้าต้องการต่อยอดแบบเป็นธรรมชาติ ลองทำโจทย์ที่คุณต้องตัดสินใจก่อนว่าข้อมูลที่ให้มาเข้ากับ AA, SAS หรือ SSS ก่อนจะตั้งสัดส่วนใด ๆ