닮은삼각형 — AA, SAS, SSS 닮음 조건

닮은삼각형은 모양은 같지만 크기는 반드시 같지 않은 삼각형입니다. 닮은 두 삼각형에서는 대응각의 크기가 같고 대응변의 길이는 비례합니다.

이 개념이 중요한 가장 큰 이유는 실용성에 있습니다. 두 삼각형이 닮음임을 증명하면 하나의 닮음비만으로 모든 대응변의 길이를 구할 수 있습니다. 그래서 닮은삼각형은 기하 증명, 축척도, 그림자 문제에서 자주 등장합니다.

닮은삼각형의 의미

$\triangle ABC$가 $\triangle DEF$와 닮음이라면 순서가 중요합니다. 이는 각 $A$가 각 $D$에, 각 $B$가 각 $E$에, 각 $C$가 각 $F$에 대응한다는 뜻입니다.

이 대응관계로부터 대응변은 다음을 만족합니다.

$$\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}$$

이 비들은 모두 같은 닮음비를 나타냅니다. $\triangle ABC$에서 $\triangle DEF$로 가는 닮음비가 $2$라면, $\triangle DEF$의 각 변은 $\triangle ABC$의 대응변보다 2배입니다.

AA, SAS, SSS 닮음 조건이 작동하는 방식

AA 닮음

한 삼각형의 두 각이 다른 삼각형의 두 각과 각각 같으면, 두 삼각형은 닮음입니다.

이는 삼각형의 내각의 합이 항상 $180^\circ$이므로 나머지 한 각도 자동으로 같아지기 때문입니다.

SAS 닮음

대응하는 두 쌍의 변의 길이가 비례하고, 그 두 변 사이의 끼인각이 같으면 두 삼각형은 닮음입니다.

여기서 "끼인"이라는 말이 중요합니다. 같은 각은 비교하는 두 변 사이에 있어야 합니다. 같은 각이 다른 위치에 있으면 SAS는 적용되지 않습니다.

SSS 닮음

세 쌍의 대응변의 길이가 모두 비례하면 두 삼각형은 닮음입니다.

각의 정보가 없을 때 가장 깔끔한 판정법인 경우가 많지만, 대응하는 변을 정확히 맞춰야만 합니다.

예제: SAS로 미지의 변 구하기

두 삼각형의 끼인각이 모두 $40^\circ$라고 합시다. 작은 삼각형에서 그 각을 사이에 둔 두 변의 길이는 $6$과 $12$입니다. 큰 삼각형에서 대응하는 두 변의 길이는 $10$과 $20$입니다.

먼저 변의 비를 확인합니다.

$$\frac{6}{10} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$$

끼인각도 같으므로 두 삼각형은 SAS에 의해 닮음입니다.

이제 작은 삼각형의 세 번째 변이 $9$이고, 큰 삼각형의 대응하는 세 번째 변이 $x$라고 합시다. 작은 삼각형에서 큰 삼각형으로 가는 닮음비를 사용하면

$$\frac{10}{6} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$$

따라서

$$x = 9 \cdot \frac{5}{3} = 15$$

미지의 변의 길이는 $15$입니다. 핵심은 계산 자체가 아닙니다. 먼저 닮음을 증명하고, 그다음 대응변에 대해 하나의 일관된 닮음비를 사용하는 것이 중요합니다.

삼각형의 닮음을 증명할 때 자주 하는 실수

닮음과 합동을 혼동하기

닮은삼각형은 모양이 같습니다. 합동인 삼각형은 모양도 같고 크기도 같습니다. 합동은 닮음비가 $1$인 닮은삼각형의 특별한 경우입니다.

잘못된 대응변 사용하기

올바른 비례식은 반드시 대응변끼리만 사용해야 합니다. 꼭짓점의 순서를 잘못 맞추면 식은 그럴듯해 보여도 설정 자체가 틀릴 수 있습니다.

한 비만 뒤집고 나머지는 그대로 두기

한 비를 작은 것 대 큰 것으로 썼다면 다른 비도 모두 작은 것 대 큰 것으로 써야 합니다. 같은 식 안에서 방향을 섞으면 실제로는 닮은 삼각형이어도 답이 틀어집니다.

SSA를 닮음 조건으로 생각하기

AA, SAS, SSS는 올바른 닮음 조건입니다. 하지만 SSA는 일반적으로 그것만으로 충분하지 않습니다. 같은 변의 정보로 서로 다른 삼각형이 만들어질 수 있기 때문입니다.

넓이의 비가 다르게 변한다는 점을 잊기

변의 길이가 $k$배가 되면 넓이는 $k^2$배가 됩니다. 한 삼각형의 가로 길이가 2배라고 해서 넓이도 단순히 2배가 되는 것은 아닙니다.

닮은삼각형이 사용되는 곳

닮은삼각형은 기하, 지도, 축척도, 그림자, 측량, 좌표기하에서 등장합니다. 특히 한 삼각형은 측정하기 쉽고 다른 삼각형은 측정하기 어렵지만 두 도형의 모양이 같을 때 매우 유용합니다.

더 큰 증명 속에서도 자주 보입니다. 피타고라스 정리, 직각삼각형의 높이와 관련된 관계, 일부 삼각비 개념도 닮음을 알아보면 훨씬 쉽게 이해할 수 있습니다.

비슷한 문제를 풀어 보세요

한 삼각형의 대응하는 두 변이 $8$과 $12$, 다른 삼각형의 대응하는 두 변이 $14$와 $21$이고 두 삼각형의 끼인각이 같다고 해 봅시다. 먼저 닮음을 증명한 뒤, 작은 삼각형의 세 번째 변이 $10$일 때 대응하는 큰 삼각형의 세 번째 변을 구해 보세요.

다음 단계로 자연스럽게 이어 가고 싶다면, 비례식을 세우기 전에 먼저 주어진 정보가 AA, SAS, SSS 중 어느 조건에 해당하는지 판단해야 하는 문제도 풀어 보세요.