Triângulos Semelhantes — Semelhança AA, LAL e LLL

Triângulos semelhantes são triângulos com a mesma forma, mas não necessariamente o mesmo tamanho. Em um par de triângulos semelhantes, os ângulos correspondentes são iguais e os lados correspondentes são proporcionais.

O principal motivo de isso ser importante é prático: depois que você prova que dois triângulos são semelhantes, um único fator de escala pode revelar todos os lados correspondentes. É por isso que triângulos semelhantes aparecem em demonstrações de geometria, desenhos em escala e problemas com sombras.

O que significam triângulos semelhantes

Se $\triangle ABC$ é semelhante a $\triangle DEF$, então a ordem importa. Ela indica que o ângulo $A$ corresponde ao ângulo $D$, o ângulo $B$ corresponde ao ângulo $E$ e o ângulo $C$ corresponde ao ângulo $F$.

A partir dessa correspondência, os lados correspondentes satisfazem

$$\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}$$

Essas razões descrevem o mesmo fator de escala. Se o fator de escala de $\triangle ABC$ para $\triangle DEF$ é $2$, então cada lado de $\triangle DEF$ mede o dobro do lado correspondente em $\triangle ABC$.

Como funcionam os casos de semelhança AA, LAL e LLL

Semelhança AA

Se dois ângulos de um triângulo são iguais a dois ângulos de outro triângulo, então os triângulos são semelhantes.

Isso funciona porque o terceiro ângulo também deve ser igual, já que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é $180^\circ$.

Semelhança LAL

Se dois pares de lados correspondentes são proporcionais e o ângulo compreendido entre esses lados é igual, então os triângulos são semelhantes.

A expressão "ângulo compreendido" importa. O ângulo igual deve estar entre os dois lados que você está comparando. Se o ângulo igual estiver em outro lugar, LAL não se aplica.

Semelhança LLL

Se os três pares de lados correspondentes são proporcionais, então os triângulos são semelhantes.

Esse costuma ser o teste mais direto quando nenhum ângulo é dado, mas só funciona se os pares de lados forem associados corretamente.

Exemplo resolvido: usar LAL para encontrar um lado desconhecido

Suponha que dois triângulos tenham um ângulo compreendido de $40^\circ$. No triângulo menor, os lados ao redor desse ângulo medem $6$ e $12$. No triângulo maior, os lados correspondentes medem $10$ e $20$.

Primeiro, verifique as razões entre os lados:

$$\frac{6}{10} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$$

Como o ângulo compreendido também é igual, os triângulos são semelhantes por LAL.

Agora suponha que o terceiro lado do triângulo menor mede $9$, e o terceiro lado correspondente do triângulo maior é $x$. Use o fator de escala do menor para o maior:

$$\frac{10}{6} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$$

Então

$$x = 9 \cdot \frac{5}{3} = 15$$

O lado desconhecido é $15$. A ideia principal não é a conta. É a montagem: primeiro prove a semelhança, depois use um único fator de escala consistente nos lados correspondentes.

Erros comuns ao provar que triângulos são semelhantes

Confundir semelhança com congruência

Triângulos semelhantes têm a mesma forma. Triângulos congruentes têm a mesma forma e o mesmo tamanho. Triângulos congruentes são um caso particular de triângulos semelhantes com fator de escala $1$.

Usar os pares de lados errados

Uma proporção correta usa apenas lados correspondentes. Se a ordem dos vértices estiver errada, a álgebra pode parecer organizada, mas a montagem ainda estará errada.

Inverter uma razão, mas não as outras

Se você escreve uma razão do menor para o maior, então as outras razões também devem estar do menor para o maior. Misturar sentidos na mesma equação gera respostas erradas, mesmo quando os triângulos realmente são semelhantes.

Tratar SSA como critério de semelhança

AA, LAL e LLL são critérios válidos de semelhança. SSA, em geral, não é suficiente por si só, porque os mesmos dados de lados podem corresponder a mais de um triângulo.

Esquecer que a área escala de forma diferente

Se os comprimentos dos lados são multiplicados por um fator $k$, então as áreas são multiplicadas por um fator $k^2$. Um triângulo com o dobro da largura não tem apenas o dobro da área.

Onde triângulos semelhantes são usados

Triângulos semelhantes aparecem em geometria, mapas, desenhos em escala, sombras, topografia e geometria analítica. Eles são especialmente úteis quando um triângulo é mais fácil de medir do que outro, mas as formas coincidem.

Você também os encontra dentro de demonstrações maiores. O teorema de Pitágoras, as relações de altura em triângulos retângulos e algumas ideias de trigonometria ficam mais fáceis quando a semelhança é reconhecida.

Tente um problema parecido

Tente sua própria versão com pares de lados $8$ e $12$ em um triângulo e $14$ e $21$ em outro, com o ângulo compreendido igual nos dois triângulos. Primeiro prove a semelhança, depois encontre o terceiro lado correspondente se o menor mede $10$.

Se quiser um próximo passo natural, tente resolver um problema parecido em que você precisa decidir primeiro se as informações se encaixam em AA, LAL ou LLL antes de montar qualquer proporção.