Benzer Üçgenler — AA, SAS ve SSS Benzerliği

Benzer üçgenler, aynı şekle sahip olan ama mutlaka aynı büyüklükte olmayan üçgenlerdir. Benzer iki üçgende karşılık gelen açılar eşittir ve karşılık gelen kenarlar orantılıdır.

Bunun önemli olmasının temel nedeni pratiktir: iki üçgenin benzer olduğunu kanıtladığınızda, tek bir ölçek faktörü tüm eşleşen kenarları bulmanızı sağlar. Bu yüzden benzer üçgenler geometri ispatlarında, ölçekli çizimlerde ve gölge problemlerinde karşınıza çıkar.

Benzer üçgen ne demektir?

Eğer $\triangle ABC$ üçgeni $\triangle DEF$ üçgenine benzerse, sıralama önemlidir. Bu, $A$ açısının $D$ açısına, $B$ açısının $E$ açısına ve $C$ açısının $F$ açısına karşılık geldiğini gösterir.

Bu eşleşmeye göre, karşılık gelen kenarlar şu bağıntıyı sağlar:

$$\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}$$

Bu oranların hepsi aynı ölçek faktörünü ifade eder. Eğer $\triangle ABC$ üçgeninden $\triangle DEF$ üçgenine ölçek faktörü $2$ ise, $\triangle DEF$ içindeki her kenar $\triangle ABC$ içindeki karşılık gelen kenarın iki katıdır.

AA, SAS ve SSS benzerliği nasıl çalışır?

AA benzerliği

Bir üçgenin iki açısı, başka bir üçgenin iki açısına eşitse, bu üçgenler benzerdir.

Bu yöntem çalışır çünkü herhangi bir üçgende iç açıların toplamı $180^\circ$ olduğundan, üçüncü açılar da eşit olmak zorundadır.

SAS benzerliği

Karşılık gelen iki kenar çifti orantılıysa ve bu kenarların arasındaki açı eşitse, üçgenler benzerdir.

Burada "aradaki" sözcüğü önemlidir. Eşit olan açı, karşılaştırdığınız iki kenarın arasında olmalıdır. Eşit açı başka bir yerdeyse, SAS uygulanamaz.

SSS benzerliği

Karşılık gelen üç kenar çiftinin tamamı orantılıysa, üçgenler benzerdir.

Açı verilmediğinde bu çoğu zaman en temiz testtir, ama yalnızca kenar çiftleri doğru eşleştirildiyse.

Çözümlü örnek: eksik bir kenarı bulmak için SAS kullanma

İki üçgenin aradaki açısının $40^\circ$ olduğunu düşünün. Küçük üçgende bu açının çevresindeki kenarlar $6$ ve $12$ olsun. Büyük üçgende karşılık gelen kenarlar ise $10$ ve $20$ olsun.

Önce kenar oranlarını kontrol edin:

$$\frac{6}{10} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$$

Aradaki açı da eşit olduğuna göre, üçgenler SAS'a göre benzerdir.

Şimdi küçük üçgenin üçüncü kenarının $9$, büyük üçgenin karşılık gelen üçüncü kenarının ise $x$ olduğunu varsayalım. Küçükten büyüğe ölçek faktörünü kullanın:

$$\frac{10}{6} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$$

Buna göre

$$x = 9 \cdot \frac{5}{3} = 15$$

Eksik kenar $15$ olur. Buradaki temel fikir işlem yapmak değildir. Asıl önemli olan kurulumdur: önce benzerliği kanıtlayın, sonra karşılık gelen kenarlarda tek ve tutarlı bir ölçek faktörü kullanın.

Üçgenlerin benzer olduğunu kanıtlarken sık yapılan hatalar

Benzerlik ile eşliği karıştırmak

Benzer üçgenler aynı şekle sahiptir. Eş üçgenler ise hem aynı şekle hem de aynı büyüklüğe sahiptir. Eş üçgenler, ölçek faktörü $1$ olan özel bir benzer üçgen durumudur.

Yanlış kenar çiftlerini kullanmak

Doğru bir orantı yalnızca karşılık gelen kenarları kullanır. Köşe sıralaması yanlışsa, cebir düzgün görünebilir ama kurulum yine de yanlış olur.

Bir oranı ters çevirip diğerlerini çevirmemek

Bir oranı küçükten büyüğe yazıyorsanız, diğer oranlar da küçükten büyüğe olmalıdır. Aynı denklem içinde yönleri karıştırmak, üçgenler gerçekten benzer olsa bile yanlış sonuca götürür.

SSA'yı bir benzerlik testi sanmak

AA, SAS ve SSS geçerli benzerlik testleridir. SSA ise genel olarak tek başına yeterli değildir, çünkü aynı kenar bilgileri birden fazla üçgene uyabilir.

Alanın farklı ölçeklendiğini unutmak

Kenar uzunlukları $k$ katsayısıyla ölçekleniyorsa, alanlar $k^2$ katsayısıyla ölçeklenir. Genişliği iki katına çıkan bir üçgenin alanı yalnızca iki kat olmaz.

Benzer üçgenler nerelerde kullanılır?

Benzer üçgenler geometride, haritalarda, ölçekli çizimlerde, gölgelerde, arazi ölçümünde ve analitik geometride kullanılır. Özellikle bir üçgeni ölçmek diğerine göre daha kolaysa ama şekiller eşleşiyorsa çok işe yararlar.

Ayrıca daha büyük ispatların içinde de görülürler. Pisagor teoremi, dik üçgende yükseklik ilişkileri ve bazı trigonometri fikirleri, benzerlik fark edildiğinde daha kolay hale gelir.

Benzer bir soru deneyin

Bir üçgende kenar çiftleri $8$ ve $12$, diğerinde ise $14$ ve $21$ olacak şekilde kendi örneğinizi deneyin; ayrıca her iki üçgende de aradaki açı eşit olsun. Önce benzerliği kanıtlayın, sonra küçük üçgenin üçüncü kenarı $10$ ise karşılık gelen üçüncü kenarı bulun.

Doğal bir sonraki adım isterseniz, herhangi bir orantı kurmadan önce verilen bilgilerin AA, SAS ya da SSS'den hangisine uyduğuna önce karar vermeniz gereken benzer bir soru çözmeyi deneyin.