Triángulos semejantes — semejanza AA, LAL y LLL

Los triángulos semejantes son triángulos que tienen la misma forma, pero no necesariamente el mismo tamaño. En un par de triángulos semejantes, los ángulos correspondientes son iguales y los lados correspondientes son proporcionales.

La razón principal por la que esto importa es práctica: una vez que demuestras que dos triángulos son semejantes, un solo factor de escala te permite hallar todos los lados correspondientes. Por eso los triángulos semejantes aparecen en demostraciones de geometría, dibujos a escala y problemas de sombras.

Qué significan los triángulos semejantes

Si $\triangle ABC$ es semejante a $\triangle DEF$, entonces el orden importa. Esto indica que el ángulo $A$ corresponde al ángulo $D$, el ángulo $B$ al ángulo $E$ y el ángulo $C$ al ángulo $F$.

A partir de esa correspondencia, los lados correspondientes cumplen

$$\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}$$

Estas razones describen todas el mismo factor de escala. Si el factor de escala de $\triangle ABC$ a $\triangle DEF$ es $2$, entonces cada lado de $\triangle DEF$ mide el doble que el lado correspondiente de $\triangle ABC$.

Cómo funcionan los criterios de semejanza AA, LAL y LLL

Semejanza AA

Si dos ángulos de un triángulo son iguales a dos ángulos de otro triángulo, entonces los triángulos son semejantes.

Esto funciona porque el tercer ángulo también debe ser igual, ya que los ángulos de cualquier triángulo suman $180^\circ$.

Semejanza LAL

Si dos pares de lados correspondientes son proporcionales y el ángulo comprendido entre esos lados es igual, entonces los triángulos son semejantes.

La palabra "comprendido" importa. El ángulo igual debe estar entre los dos lados que estás comparando. Si el ángulo igual está en otra posición, LAL no se puede aplicar.

Semejanza LLL

Si los tres pares de lados correspondientes son proporcionales, entonces los triángulos son semejantes.

Este suele ser el criterio más directo cuando no se dan ángulos, pero solo si los pares de lados están emparejados correctamente.

Ejemplo resuelto: usar LAL para hallar un lado faltante

Supón que dos triángulos tienen un ángulo comprendido de $40^\circ$. En el triángulo más pequeño, los lados alrededor de ese ángulo miden $6$ y $12$. En el triángulo más grande, los lados correspondientes miden $10$ y $20$.

Primero comprueba las razones de los lados:

$$\frac{6}{10} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$$

Como el ángulo comprendido también es igual, los triángulos son semejantes por LAL.

Ahora supón que el tercer lado del triángulo pequeño mide $9$, y el tercer lado correspondiente del triángulo grande es $x$. Usa el factor de escala de pequeño a grande:

$$\frac{10}{6} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$$

Entonces

$$x = 9 \cdot \frac{5}{3} = 15$$

El lado faltante es $15$. La idea clave no es la aritmética. Es el planteamiento: primero demuestra la semejanza y luego usa un único factor de escala coherente en los lados correspondientes.

Errores comunes al demostrar que dos triángulos son semejantes

Confundir semejantes con congruentes

Los triángulos semejantes tienen la misma forma. Los triángulos congruentes tienen la misma forma y el mismo tamaño. Los triángulos congruentes son un caso particular de triángulos semejantes con factor de escala $1$.

Usar pares de lados incorrectos

Una proporción correcta usa solo lados correspondientes. Si el orden de los vértices es incorrecto, el álgebra puede verse ordenada aunque el planteamiento siga estando mal.

Invertir una razón pero no las demás

Si escribes una razón de pequeño a grande, las demás también deben ir de pequeño a grande. Mezclar direcciones dentro de la misma ecuación produce respuestas incorrectas incluso cuando los triángulos sí son semejantes.

Tratar SSA como criterio de semejanza

AA, LAL y LLL son criterios válidos de semejanza. SSA no es suficiente por sí solo en general, porque los mismos datos de lados pueden corresponder a más de un triángulo.

Olvidar que el área escala de forma distinta

Si las longitudes de los lados se escalan por un factor de $k$, entonces las áreas se escalan por un factor de $k^2$. Un triángulo que es el doble de ancho no tiene solo el doble de área.

Dónde se usan los triángulos semejantes

Los triángulos semejantes aparecen en geometría, mapas, dibujos a escala, sombras, topografía y geometría analítica. Son especialmente útiles cuando un triángulo es más fácil de medir que otro, pero las formas coinciden.

También aparecen dentro de demostraciones más grandes. El teorema de Pitágoras, las relaciones de altura en triángulos rectángulos y algunas ideas de trigonometría se vuelven más fáciles una vez que se reconoce la semejanza.

Prueba un problema parecido

Intenta tu propia versión con pares de lados $8$ y $12$ en un triángulo y $14$ y $21$ en otro, con el ángulo comprendido igual en ambos triángulos. Primero demuestra la semejanza y luego halla el tercer lado correspondiente si el del triángulo pequeño mide $10$.

Si quieres un siguiente paso natural, intenta resolver un problema parecido en el que primero debas decidir si la información corresponde a AA, LAL o LLL antes de plantear cualquier proporción.