Định lý đường tròn — Góc, tiếp tuyến và dây cung

Định lý đường tròn là các quy tắc dùng để tìm góc trong những hình có dây cung, tiếp tuyến, bán kính và tứ giác nội tiếp. Nếu bạn ghép đúng định lý với đúng điều kiện, một hình đường tròn trông rối thường sẽ trở thành một hoặc hai phương trình góc đơn giản.

Điều kiện luôn rất quan trọng. Bạn chỉ có thể dùng định lý đường tròn khi hình thật sự có cấu hình cần thiết, chẳng hạn như các góc cùng chắn một dây, một tiếp tuyến thực sự chỉ chạm đường tròn tại một điểm, hoặc cả bốn đỉnh đều nằm trên đường tròn.

Những định lý đường tròn quan trọng nhất

Đây là những định lý đường tròn học sinh dùng thường xuyên nhất trong các bài toán đuổi góc.

Góc ở tâm bằng hai lần góc nội tiếp cùng chắn một cung

Nếu một góc ở tâm và một góc nội tiếp cùng chắn một cung, thì góc ở tâm bằng hai lần góc nội tiếp.

Nếu góc ở tâm là $\theta$, thì góc nội tiếp cùng chắn cung đó là

$$\frac{\theta}{2}$$

Điều này giúp bạn chuyển nhanh giữa một góc lớn ở tâm và một góc nhỏ hơn trên đường tròn.

Các góc trong cùng một cung thì bằng nhau

Nếu hai góc nội tiếp cùng chắn một dây và nằm trong cùng một cung, thì chúng bằng nhau.

Điều này hữu ích khi hai điểm trên đường tròn cùng “nhìn” một dây. Nếu chúng cùng chắn một dây từ cùng một cung, thì các góc sẽ bằng nhau.

Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn bằng $90^\circ$

Nếu một tam giác được vẽ sao cho một cạnh là đường kính, thì góc tại điểm nằm trên đường tròn là một góc vuông.

Đây là trường hợp đặc biệt của định lý góc ở tâm, vì góc ở tâm chắn đường kính là $180^\circ$, và một nửa của nó là $90^\circ$.

Hai góc đối của tứ giác nội tiếp có tổng bằng $180^\circ$

Tứ giác nội tiếp là tứ giác có bốn đỉnh cùng nằm trên một đường tròn.

Nếu các góc $A$ và $C$ là hai góc đối của một tứ giác nội tiếp, thì

$$A + C = 180^\circ$$

Điều tương tự cũng đúng với cặp góc đối còn lại.

Bán kính vuông góc với tiếp tuyến tại tiếp điểm

Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn, nó chỉ chạm đường tròn tại đúng một điểm. Bán kính nối đến điểm đó vuông góc với tiếp tuyến.

Vì vậy nếu $OA$ là một bán kính và đường thẳng tại $A$ là tiếp tuyến, thì góc giữa chúng là

$$90^\circ$$

Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng góc ở cung đối diện

Định lý này thường được gọi là định lý góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung.

Nếu một tiếp tuyến chạm đường tròn tại một đầu của dây cung, thì góc giữa tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp chắn dây đó ở cung đối diện.

Đây là một cách làm tắt rất mạnh vì nó biến một góc tạo bởi đường thẳng ở ngoài đường tròn thành một góc quen thuộc ở bên trong đường tròn.

Ví dụ có lời giải: Tìm hai góc từ một góc ở tâm

Giả sử $O$ là tâm của một đường tròn và dây cung $AB$ chắn góc ở tâm $\angle AOB = 110^\circ$. Điểm $C$ nằm trên đường tròn ở cung đối diện với dây $AB$, và một tiếp tuyến chạm đường tròn tại $A$.

Hãy tìm:

1. góc nội tiếp $\angle ACB$
2. góc giữa tiếp tuyến tại $A$ và dây cung $AB$

Bắt đầu với định lý góc ở tâm. Góc nội tiếp chắn dây $AB$ bằng một nửa góc ở tâm cùng chắn dây $AB$, nên

$$\angle ACB = \frac{110^\circ}{2} = 55^\circ$$

Bây giờ dùng định lý góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung. Góc giữa tiếp tuyến tại $A$ và dây cung $AB$ bằng góc ở cung đối diện chắn dây $AB$. Góc đó là $\angle ACB$, nên góc giữa tiếp tuyến và dây cung cũng bằng

$$55^\circ$$

Điểm mấu chốt không nằm ở phép tính. Mà là nhận ra rằng cả hai góc chưa biết đều xuất phát từ cùng một dây $AB$.

Cách chọn đúng định lý đường tròn

Hãy tự hỏi các câu sau theo thứ tự:

1. Có một góc ở tâm được đánh dấu và một góc tương ứng trên đường tròn không?
2. Có cạnh nào là đường kính không?
3. Có một tiếp tuyến chạm đường tròn tại đúng một điểm không?
4. Cả bốn đỉnh của tứ giác có nằm trên đường tròn không?
5. Có hai góc cùng chắn một dây không?

Danh sách kiểm tra nhanh này thường sẽ cho bạn biết định lý nào phù hợp với hình vẽ.

Những lỗi thường gặp với định lý đường tròn

Một lỗi phổ biến là dùng quy tắc “gấp đôi” cho các góc không cùng chắn một cung. Góc ở tâm và góc nội tiếp phải cùng xuất phát từ một cung.

Một lỗi khác là gọi một đường thẳng là tiếp tuyến chỉ vì nó trông như chạm vào đường tròn. Trong một bài chứng minh hoặc bài thi, điều kiện tiếp tuyến phải được nêu rõ hoặc được thiết lập.

Học sinh cũng hay nhầm giữa “các góc trong cùng một cung thì bằng nhau” với “hai góc đối của tứ giác nội tiếp có tổng bằng $180^\circ$”. Một định lý cho sự bằng nhau. Định lý kia cho một cặp góc bù nhau.

Một lỗi cuối cùng là cho rằng bất kỳ hình bốn cạnh nào ở gần đường tròn cũng là tứ giác nội tiếp. Với định lý tứ giác nội tiếp, cả bốn đỉnh đều phải nằm trên đường tròn.

Khi nào dùng định lý đường tròn

Định lý đường tròn xuất hiện trong hình học ở trường, các bài chứng minh đuổi góc, bài toán hình học tọa độ và các câu hỏi trong đề thi mà hình vẽ chứa nhiều thông tin hơn vẻ ngoài ban đầu.

Chúng đặc biệt hữu ích khi bạn cần chứng minh mối liên hệ giữa các đường thẳng, tìm nhanh các góc còn thiếu hoặc liên hệ một góc tạo bởi tiếp tuyến bên ngoài với một góc bên trong đường tròn.

Tự thử một phiên bản của riêng bạn

Vẽ một đường tròn tâm $O$ và dây cung $PQ$. Cho $\angle POQ = 84^\circ$. Đặt một điểm $R$ trên đường tròn ở cung đối diện với dây $PQ$, rồi vẽ một tiếp tuyến tại $P$.

Hãy tìm $\angle PRQ$, sau đó tìm góc giữa tiếp tuyến tại $P$ và dây cung $PQ$.

Nếu bạn muốn kiểm tra từng bước cách dựng và giải của mình, hãy thử giải một bài tương tự trong GPAI Solver và xem liệu bạn đã ghép đúng từng định lý với đúng điều kiện hay chưa.