Tam giác bằng nhau — SSS, SAS, ASA, AAS & HL

Tam giác bằng nhau là những tam giác có cùng kích thước và hình dạng. Trong hầu hết các bài toán hình học, bạn chứng minh hai tam giác bằng nhau bằng một trong năm tiêu chuẩn: SSS, SAS, ASA, AAS hoặc HL. Bạn cũng cần biết những cách suy luận tắt thường gặp nhưng sai, đặc biệt là AAA và SSA.

Nếu một tam giác có thể được tịnh tiến, quay hoặc đối xứng để trùng khít hoàn toàn với tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau. Thứ tự các đỉnh rất quan trọng vì nó cho biết những phần nào tương ứng với nhau.

Tam giác bằng nhau có nghĩa là gì

Nếu $\triangle ABC \cong \triangle DEF$, thì các phần tương ứng bằng nhau:

$$\triangle ABC \cong \triangle DEF$$

Điều này có nghĩa là

$$AB = DE,\ BC = EF,\ AC = DF$$

và

$$\angle A = \angle D,\ \angle B = \angle E,\ \angle C = \angle F$$

Mệnh đề $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ ghép $A$ với $D$, $B$ với $E$ và $C$ với $F$. Nếu bạn viết các chữ cái sai thứ tự, bạn có thể ghép nhầm các cạnh và các góc.

Các tiêu chuẩn bằng nhau của tam giác có hiệu lực

SSS: Cạnh-Cạnh-Cạnh

Nếu cả ba cạnh tương ứng bằng nhau thì hai tam giác bằng nhau.

Ba độ dài cạnh xác định duy nhất một tam giác, ngoại trừ trường hợp ảnh đối xứng.

SAS: Cạnh-Góc-Cạnh

Nếu hai cạnh và góc xen giữa chúng tương ứng bằng nhau thì hai tam giác bằng nhau.

Điều kiện quan trọng là góc xen giữa. Đó phải là góc được tạo bởi hai cạnh đã biết.

ASA: Góc-Cạnh-Góc

Nếu hai góc và cạnh xen giữa chúng tương ứng bằng nhau thì hai tam giác bằng nhau.

Khi hai góc đã được cố định thì góc thứ ba cũng được xác định. Cạnh sẽ xác định kích thước của tam giác.

AAS: Góc-Góc-Cạnh

Nếu hai góc và một cạnh không xen giữa tương ứng bằng nhau thì hai tam giác bằng nhau.

Điều này đúng vì cùng lý do như ASA: hai góc xác định hình dạng, còn một cạnh xác định kích thước.

HL: Cạnh huyền-Cạnh góc vuông

HL chỉ áp dụng cho tam giác vuông. Nếu hai tam giác vuông có cùng cạnh huyền và một cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau thì chúng bằng nhau.

Nếu không có điều kiện góc vuông thì không thể áp dụng HL.

Một ví dụ SAS đã giải

Giả sử bạn biết

$$AB = DE = 7,\quad AC = DF = 5,\quad \angle A = \angle D = 40^\circ$$

và trong mỗi tam giác, góc đã biết nằm giữa hai cạnh đã biết.

Như vậy là đủ để dùng SAS:

$$AB = DE$$ $$AC = DF$$ $$\angle A = \angle D$$

Vậy hai tam giác bằng nhau:

$$\triangle ABC \cong \triangle DEF$$

Sau đó, mọi phần tương ứng đều bằng nhau. Ví dụ, $BC = EF$ và $\angle B = \angle E$.

Điểm mấu chốt nằm ở vị trí, không phải ở giá trị số. Góc bằng nhau nằm giữa hai cạnh bằng nhau, nên đây là SAS chứ không phải SSA.

Vì sao AAA và SSA là chưa đủ

AAA

AAA không chứng minh được hai tam giác bằng nhau. Nó chỉ chứng minh được hai tam giác đồng dạng.

Ví dụ, hai tam giác đều đều có thể có các góc $60^\circ$, $60^\circ$ và $60^\circ$ nhưng độ dài cạnh khác nhau.

SSA

SSA nhìn chung không phải là một tiêu chuẩn bằng nhau hợp lệ. Biết hai cạnh và một góc không xen giữa có thể tạo ra nhiều hơn một tam giác, hoặc đôi khi không tạo được tam giác nào.

Vì thế SSA được gọi là trường hợp mơ hồ. Ngoại lệ đặc biệt thường gặp là HL, chỉ đúng vì các tam giác đó là tam giác vuông.

Những lỗi thường gặp khi xét tam giác bằng nhau

1. Dùng SAS khi góc đã biết không nằm giữa hai cạnh đã biết.
2. Dùng HL cho những tam giác không được nêu hoặc không được thể hiện là tam giác vuông.
3. Cho rằng AAA chứng minh bằng nhau thay vì đồng dạng.
4. Ghép sai các đỉnh khi viết mệnh đề bằng nhau.

Tam giác bằng nhau được dùng ở đâu

Tam giác bằng nhau xuất hiện trong các chứng minh hình học, bài toán dựng hình, hình học tọa độ và công việc thiết kế nơi các mảnh ghép phải khớp chính xác.

Chúng đặc biệt hữu ích khi bài toán chỉ cho một vài độ dài hoặc góc nhưng lại hỏi thêm các yếu tố khác. Khi đã chứng minh được hai tam giác bằng nhau, bạn có thể dùng các phần tương ứng còn lại một cách chắc chắn.

Thử một trường hợp tương tự

Xét hai tam giác vuông có cạnh huyền bằng $10$ và một cạnh góc vuông bằng $6$. HL chỉ chứng minh chúng bằng nhau nếu cả hai đều là tam giác vuông. Bỏ điều kiện đó đi thì lập luận không còn đúng nữa, và đây là cách tốt để nhớ vì sao HL là một trường hợp đặc biệt.