Triangoli simili — similitudine AA, SAS e SSS

I triangoli simili sono triangoli con la stessa forma, ma non necessariamente della stessa dimensione. In una coppia di triangoli simili, gli angoli corrispondenti sono uguali e i lati corrispondenti sono proporzionali.

Il motivo principale per cui questo conta è pratico: una volta dimostrato che due triangoli sono simili, un solo fattore di scala permette di trovare tutti i lati corrispondenti. Per questo i triangoli simili compaiono nelle dimostrazioni geometriche, nei disegni in scala e nei problemi con le ombre.

Cosa significa che due triangoli sono simili

Se $\triangle ABC$ è simile a $\triangle DEF$, allora l'ordine conta. Significa che l'angolo $A$ corrisponde all'angolo $D$, l'angolo $B$ corrisponde all'angolo $E$ e l'angolo $C$ corrisponde all'angolo $F$.

Da questa corrispondenza, i lati corrispondenti soddisfano

$$\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}$$

Questi rapporti descrivono tutti lo stesso fattore di scala. Se il fattore di scala da $\triangle ABC$ a $\triangle DEF$ è $2$, allora ogni lato di $\triangle DEF$ è il doppio del lato corrispondente di $\triangle ABC$.

Come funzionano i criteri di similitudine AA, SAS e SSS

Similitudine AA

Se due angoli di un triangolo sono uguali a due angoli di un altro triangolo, allora i triangoli sono simili.

Questo funziona perché anche il terzo angolo deve essere uguale, dato che gli angoli interni di ogni triangolo sommano $180^\circ$.

Similitudine SAS

Se due coppie di lati corrispondenti sono proporzionali e l'angolo compreso tra quei lati è uguale, allora i triangoli sono simili.

La parola "compreso" è importante. L'angolo uguale deve trovarsi tra i due lati che stai confrontando. Se l'angolo uguale si trova altrove, il criterio SAS non si applica.

Similitudine SSS

Se tutte e tre le coppie di lati corrispondenti sono proporzionali, allora i triangoli sono simili.

Spesso questo è il criterio più diretto quando non sono dati angoli, ma funziona solo se le coppie di lati sono abbinate correttamente.

Esempio svolto: usare SAS per trovare un lato mancante

Supponiamo che due triangoli abbiano un angolo compreso di $40^\circ$. Nel triangolo più piccolo, i lati attorno a quell'angolo sono $6$ e $12$. Nel triangolo più grande, i lati corrispondenti sono $10$ e $20$.

Per prima cosa controlla i rapporti tra i lati:

$$\frac{6}{10} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$$

Poiché anche l'angolo compreso è uguale, i triangoli sono simili per il criterio SAS.

Ora supponiamo che il terzo lato del triangolo più piccolo sia $9$, e che il terzo lato corrispondente del triangolo più grande sia $x$. Usa il fattore di scala dal piccolo al grande:

$$\frac{10}{6} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$$

Quindi

$$x = 9 \cdot \frac{5}{3} = 15$$

Il lato mancante è $15$. L'idea chiave non è il calcolo. È l'impostazione: prima dimostra la similitudine, poi usa un unico fattore di scala coerente sui lati corrispondenti.

Errori comuni quando si dimostra che due triangoli sono simili

Confondere triangoli simili e congruenti

I triangoli simili hanno la stessa forma. I triangoli congruenti hanno la stessa forma e la stessa dimensione. I triangoli congruenti sono un caso particolare di triangoli simili con fattore di scala $1$.

Usare le coppie di lati sbagliate

Una proporzione corretta usa solo lati corrispondenti. Se l'ordine dei vertici è sbagliato, l'algebra può sembrare ordinata anche se l'impostazione è comunque errata.

Invertire un rapporto ma non gli altri

Se scrivi un rapporto dal piccolo al grande, anche gli altri rapporti devono essere dal piccolo al grande. Mescolare direzioni diverse nella stessa equazione porta a risposte sbagliate anche quando i triangoli sono davvero simili.

Trattare SSA come un criterio di similitudine

AA, SAS e SSS sono criteri validi di similitudine. In generale, SSA da solo non basta, perché gli stessi dati sui lati possono adattarsi a più di un triangolo.

Dimenticare che l'area scala in modo diverso

Se le lunghezze dei lati scalano di un fattore $k$, allora le aree scalano di un fattore $k^2$. Un triangolo largo il doppio non ha semplicemente area doppia.

Dove si usano i triangoli simili

I triangoli simili compaiono in geometria, nelle mappe, nei disegni in scala, nelle ombre, nel rilevamento e nella geometria analitica. Sono particolarmente utili quando un triangolo è più facile da misurare di un altro, ma le forme coincidono.

Li trovi anche all'interno di dimostrazioni più ampie. Il teorema di Pitagora, le relazioni sull'altezza nei triangoli rettangoli e alcune idee della trigonometria diventano più semplici una volta riconosciuta la similitudine.

Prova un problema simile

Prova una tua versione con coppie di lati $8$ e $12$ in un triangolo e $14$ e $21$ in un altro, con l'angolo compreso uguale in entrambi i triangoli. Per prima cosa dimostra la similitudine, poi trova il terzo lato corrispondente se quello del triangolo più piccolo è $10$.

Se vuoi un passo successivo naturale, prova a risolvere un problema simile in cui devi decidere prima se le informazioni corrispondono ad AA, SAS o SSS prima di impostare qualsiasi proporzione.