Bộ ba Pythagore — Các bộ ba thường gặp và cách tìm

Bộ ba Pythagore là một bộ gồm ba số nguyên dương $(a,b,c)$ thỏa mãn $a^2 + b^2 = c^2$. Nói đơn giản, ba số này là độ dài các cạnh của một tam giác vuông, và $c$ là cạnh huyền. Ví dụ kinh điển là $(3,4,5)$ vì $3^2 + 4^2 = 5^2$.

$$a^2 + b^2 = c^2$$

Chỉ dùng khái niệm này khi cả ba giá trị đều là số nguyên dương. Nhiều tam giác vuông thỏa mãn định lý Pythagore, nhưng chỉ một số trong đó có độ dài cạnh là số nguyên.

Các bộ ba Pythagore thường gặp cần biết

Những bộ này xuất hiện đủ thường xuyên để bạn nên nhận ra ngay:

• $(3,4,5)$
• $(5,12,13)$
• $(8,15,17)$
• $(7,24,25)$

Các bội của chúng cũng đúng. Ví dụ, nhân đôi $(3,4,5)$ ta được $(6,8,10)$, và

$$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$$

Đó là lý do nhiều bộ ba không nguyên thủy chỉ là phiên bản phóng to của các bộ nhỏ hơn.

Điều gì làm một bộ ba là nguyên thủy

Một bộ ba Pythagore nguyên thủy không có ước chung nào lớn hơn $1$. Ví dụ, $(3,4,5)$ là nguyên thủy, nhưng $(6,8,10)$ thì không vì cả ba số đều chia hết cho $2$.

Điều này quan trọng vì mọi bộ ba không nguyên thủy đều có được bằng cách nhân tỉ lệ từ một bộ nguyên thủy. Nếu bạn hiểu các bộ ba nguyên thủy, bạn cũng hiểu được họ lớn hơn của chúng.

Cách tìm bộ ba Pythagore

Có hai cách thực tế để tạo ra các bộ mới.

Nhân tỉ lệ một bộ ba bạn đã biết

Nếu $(a,b,c)$ là một bộ ba Pythagore và $k$ là một số nguyên dương, thì $(ka,kb,kc)$ cũng là một bộ ba Pythagore vì

$$(ka)^2 + (kb)^2 = k^2a^2 + k^2b^2 = k^2(a^2+b^2) = k^2c^2 = (kc)^2$$

Đây là cách nhanh nhất để tạo các ví dụ như $(9,12,15)$ hoặc $(10,24,26)$.

Dùng công thức Euclid

Nếu $m$ và $n$ là các số nguyên với $m > n > 0$, thì

$$a = m^2 - n^2,\quad b = 2mn,\quad c = m^2 + n^2$$

sẽ cho một bộ ba Pythagore.

Nếu bạn muốn một bộ ba nguyên thủy, nghĩa là ba số không có ước chung nào lớn hơn $1$, thì bạn còn cần $m$ và $n$ nguyên tố cùng nhau và không đồng thời là số lẻ.

Ví dụ có lời giải: Tạo một bộ ba

Lấy $m = 4$ và $n = 1$. Vì $m > n > 0$, công thức Euclid áp dụng được.

Khi đó

$$a = 4^2 - 1^2 = 15,\quad b = 2(4)(1) = 8,\quad c = 4^2 + 1^2 = 17$$

Vậy $(8,15,17)$ là một bộ ba Pythagore.

Bạn có thể kiểm tra trực tiếp:

$$8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2$$

Bây giờ nhân nó với $2$ và bạn được $(16,30,34)$. Hình dạng tam giác vuông vẫn giữ nguyên, nhưng độ dài các cạnh tăng gấp đôi.

Ví dụ này cho thấy đồng thời cả hai ý chính: công thức Euclid tạo ra một bộ ba, và phép nhân tỉ lệ tạo ra thêm nhiều bộ khác.

Những lỗi thường gặp với bộ ba Pythagore

Quên điều kiện số nguyên

Phương trình $a^2+b^2=c^2$ có nhiều nghiệm thực, nhưng một bộ ba Pythagore yêu cầu cả ba giá trị đều là số nguyên dương.

Gọi mọi bộ ba đúng là nguyên thủy

$(6,8,10)$ là một bộ ba đúng, nhưng không nguyên thủy vì cả ba số có ước chung là $2$.

Nhầm giữa "bộ ba" và "bộ ba nguyên thủy"

Một bộ ba chỉ cần thỏa mãn $a^2+b^2=c^2$ với các số nguyên dương. Các điều kiện thêm trên $m$ và $n$ chỉ quan trọng nếu bạn muốn bộ ba đó là nguyên thủy.

Đặt số lớn nhất sai vị trí

Trong bộ ba $(a,b,c)$, $c$ là cạnh huyền nên nó phải là số lớn nhất.

Khi nào bộ ba Pythagore hữu ích

Chúng xuất hiện trong hình học tam giác vuông, hình học tọa độ và lý thuyết số nhập môn. Chúng cũng hữu ích khi bạn muốn kiểm tra nhanh xem ba số nguyên có thể tạo thành một tam giác vuông hay không.

Trong toán học thiên về chứng minh, đây là một ví dụ tiêu chuẩn của phương trình Diophantine: phương trình mà ta tìm nghiệm nguyên thay vì mọi nghiệm thực.

Thử một bài tương tự

Dùng $m = 5$ và $n = 2$ trong công thức Euclid, rồi kiểm tra kết quả trong $a^2 + b^2 = c^2$. Nếu muốn làm thêm một bước nữa, hãy khám phá Định lý Pythagore để xem cùng mối quan hệ này được dùng như thế nào để tìm độ dài cạnh còn thiếu.