Định lý cosin — Công thức, Chứng minh & Ví dụ

Dùng định lý cosin khi tam giác không vuông và bạn biết hoặc là hai cạnh cùng với góc xen giữa, hoặc là cả ba cạnh. Với các cạnh $a$, $b$, $c$ lần lượt đối diện các góc $A$, $B$, $C$, dạng chuẩn là

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$$

Ở đây, cạnh $c$ đối diện góc $C$, và $C$ là góc nằm giữa hai cạnh $a$ và $b$. Cùng một quy luật đó cũng áp dụng cho các cạnh còn lại:

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$$ $$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$$

Nếu $C = 90^\circ$, thì $\cos C = 0$, nên công thức trở thành $c^2 = a^2 + b^2$. Đó là lý do định lý cosin được xem là một dạng tổng quát của định lý Pythagore.

Khi nào dùng định lý cosin

Trường hợp phổ biến nhất là SAS: biết hai cạnh và góc xen giữa. Góc xen giữa là góc được tạo bởi chính hai cạnh đã biết đó.

Nó cũng dùng được cho SSS: biết cả ba cạnh và muốn tìm một góc. Khi đó, hãy biến đổi công thức trước rồi mới dùng hàm cosin ngược.

Nếu bạn đã biết một cạnh và góc đối diện với nó, thì định lý sin thường là công cụ đầu tiên phù hợp hơn.

Công thức này có ý nghĩa gì

Nếu giữ nguyên hai cạnh, thì cạnh thứ ba sẽ phụ thuộc vào góc nằm giữa chúng.

Khi góc xen giữa lớn hơn, cạnh đối diện sẽ dài hơn. Khi góc nhỏ đi, cạnh đối diện sẽ ngắn hơn. Hạng tử $-2ab\cos C$ điều chỉnh tổng đơn giản $a^2 + b^2$ để phản ánh ảnh hưởng của góc đó.

Phần điều chỉnh đó là điều quan trọng cần nhớ. Nếu bỏ nó đi, bạn sẽ coi mọi tam giác như tam giác vuông.

Ví dụ giải mẫu: tìm một cạnh

Giả sử một tam giác có $a = 5$ và $b = 7$, còn góc xen giữa là $C = 60^\circ$. Hãy tìm cạnh $c$.

Vì $c$ đối diện góc đã biết $C$, ta dùng

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$$

Thay các giá trị vào:

$$c^2 = 5^2 + 7^2 - 2(5)(7)\cos 60^\circ$$

Vì $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$,

$$c^2 = 25 + 49 - 70\left(\frac{1}{2}\right) = 74 - 35 = 39$$

Vậy

$$c = \sqrt{39} \approx 6.24$$

Kết quả này hợp lý: cạnh thứ ba dài hơn $5$ nhưng ngắn hơn $7 + 5 = 12$, và góc ở đây ở mức vừa phải chứ không quá lớn.

Cách tìm một góc từ ba cạnh

Nếu biết cả ba cạnh, trước hết hãy giải theo cosin:

$$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$$

Sau đó tính

$$C = \cos^{-1}\left(\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\right)$$

Điều này chỉ có ý nghĩa khi $a$, $b$ và $c$ tạo thành một tam giác hợp lệ. Nếu giá trị bên trong $\cos^{-1}$ nằm ngoài khoảng $[-1, 1]$, thì đã có lỗi ở bước biến đổi đại số hoặc dữ liệu ban đầu.

Ý tưởng chứng minh ngắn gọn

Một cách chứng minh gọn gàng là dùng tọa độ.

Đặt một cạnh nằm trên trục $x$. Gọi một đỉnh là $(0, 0)$ và đỉnh còn lại là $(b, 0)$. Đặt đỉnh thứ ba tại $(a\cos C, a\sin C)$ vì điểm đó cách gốc tọa độ một khoảng $a$ và tạo với trục $x$ một góc $C$.

Bây giờ dùng công thức khoảng cách giữa $(b, 0)$ và $(a\cos C, a\sin C)$:

$$c^2 = (b - a\cos C)^2 + (0 - a\sin C)^2$$

Khai triển:

$$c^2 = b^2 - 2ab\cos C + a^2\cos^2 C + a^2\sin^2 C$$

Sau đó dùng

$$\sin^2 C + \cos^2 C = 1$$

để gộp hai hạng tử cuối:

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$$

Đó chính là định lý cosin.

Những lỗi thường gặp

Ghép sai cạnh với góc

Góc trong công thức phải đối diện với cạnh ở vế trái của phương trình. Nếu bạn dùng góc $C$, thì vế trái phải là $c^2$.

Dùng công thức như thể mọi tam giác đều vuông

Nếu góc không phải $90^\circ$, bạn không thể bỏ hạng tử $-2ab\cos C$.

Quên chế độ máy tính

Nếu đề bài cho góc theo độ, máy tính phải ở chế độ độ. Nếu cho theo radian, hãy dùng chế độ radian.

Tìm góc mà không cô lập cosin cẩn thận

Khi biết cả ba cạnh, hãy biến đổi trước rồi mới dùng cosin ngược. Một lỗi đại số nhỏ ở đây có thể làm góc cuối cùng sai đi rất nhiều.

Định lý cosin được dùng ở đâu

Định lý cosin rất phổ biến trong hình học, lượng giác, trắc địa, hàng hải và mọi bài toán cần tính khoảng cách trong tam giác không vuông.

Trong toán học ở trường, hai ứng dụng chính là:

• tìm một cạnh còn thiếu từ hai cạnh và góc xen giữa
• tìm một góc còn thiếu từ cả ba cạnh

Nếu bạn đã có tam giác vuông, định lý Pythagore thường là phiên bản đơn giản hơn. Nếu thay vào đó bạn biết góc cùng với một cặp cạnh đối diện, thì định lý sin có thể phù hợp hơn.

Tự thử một phiên bản của bạn

Lấy $a = 8$, $b = 11$, và $C = 30^\circ$, rồi tìm $c$. Sau đó đổi $C$ thành $120^\circ$ và so sánh kết quả. Quan sát cạnh đối diện tăng lên là một trong những cách nhanh nhất để cảm nhận công thức một cách trực quan.

Nếu bạn muốn được phản hồi từng bước với các số liệu của riêng mình, hãy khám phá một tam giác tương tự trong GPAI Solver.