Công thức khoảng cách — Giữa hai điểm trong 2D và 3D

Công thức khoảng cách cho biết độ dài đường thẳng giữa hai điểm trên mặt phẳng tọa độ hoặc trong không gian 3D. Với hai điểm $(x_1, y_1)$ và $(x_2, y_2)$ trong 2D,

$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

Với hai điểm $(x_1, y_1, z_1)$ và $(x_2, y_2, z_2)$ trong 3D,

$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$$

Hãy dùng công thức này khi bạn cần độ dài thực sự giữa hai điểm, chứ không chỉ là độ thay đổi theo phương ngang hay phương dọc. Công thức áp dụng trong hệ tọa độ Descartes chuẩn khi mỗi trục dùng cùng một đơn vị đo.

Công thức khoảng cách trong 2D: Nó đo gì?

Công thức này kết hợp hai độ thay đổi vuông góc: bạn di chuyển bao xa theo $x$ và bao xa theo $y$. Hai độ thay đổi đó tạo thành hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông, còn khoảng cách giữa hai điểm là cạnh huyền.

Vì sao công thức khoảng cách đúng?

Trên mặt phẳng, công thức khoảng cách xuất phát trực tiếp từ định lý Pythagore. Nếu

$$\Delta x = x_2 - x_1$$

và

$$\Delta y = y_2 - y_1$$

thì

$$d^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2$$

nên

$$d = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$$

Vì vậy, đây không phải là một quy tắc riêng cần học thuộc. Nó chính là định lý Pythagore được viết dưới dạng tọa độ.

Trong 3D, bạn chỉ cần thêm một độ thay đổi vuông góc nữa:

$$d^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2$$

Đó vẫn là cùng một ý tưởng, chỉ được mở rộng sang thêm một chiều nữa.

Ví dụ mẫu: Khoảng cách giữa hai điểm

Tìm khoảng cách giữa $(1, 2)$ và $(5, 7)$.

Bắt đầu với công thức khoảng cách trong 2D:

$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

Thay tọa độ vào:

$$d = \sqrt{(5 - 1)^2 + (7 - 2)^2}$$

Rút gọn các hiệu:

$$d = \sqrt{4^2 + 5^2}$$

Bình phương rồi cộng:

$$d = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}$$

Vậy khoảng cách chính xác là $\sqrt{41}$. Dưới dạng thập phân, $d \approx 6.4$.

Một phép kiểm tra nhanh sẽ rất hữu ích. Hai điểm cách nhau $4$ đơn vị theo phương ngang và $5$ đơn vị theo phương dọc, nên khoảng cách đường thẳng phải lớn hơn $5$ nhưng nhỏ hơn $9$. $\sqrt{41}$ phù hợp với điều đó.

Công thức khoảng cách trong 3D

Cách làm vẫn giống như vậy, nhưng bây giờ bạn tính thêm độ thay đổi theo $z$.

Ví dụ, giữa $(1, 2, 3)$ và $(5, 7, 6)$, các độ thay đổi tọa độ là $4$, $5$ và $3$, nên

$$d = \sqrt{4^2 + 5^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 25 + 9} = \sqrt{50}$$

Phương pháp không thay đổi. Bạn lấy hiệu các tọa độ tương ứng, bình phương các hiệu, cộng chúng lại và lấy căn bậc hai dương.

Những lỗi thường gặp với công thức khoảng cách

1. Bình phương trước khi trừ. Công thức dùng $(x_2 - x_1)^2$, không phải $x_2^2 - x_1^2$.
2. Quên lấy căn bậc hai. Nếu bạn dừng lại sau khi cộng các bình phương, bạn đã tìm được $d^2$, không phải $d$.
3. Nhầm trục. Tọa độ $x$ phải ghép với tọa độ $x$ còn lại, và tương tự với $y$ và $z$.
4. Làm mất dấu âm khi thay số. Ví dụ, $-1 - 3 = -4$, không phải $4$.
5. Dùng công thức khi đồ thị không dùng khoảng cách Descartes chuẩn. Nếu các trục dùng thang đo khác nhau, khoảng cách hình học sẽ thay đổi.

Khi nào dùng công thức khoảng cách

Bạn dùng công thức khoảng cách trong hình học tọa độ bất cứ khi nào đề bài cho hai điểm và yêu cầu tìm độ dài đoạn thẳng nối chúng.

Những trường hợp thường gặp gồm có tìm độ dài cạnh trên đồ thị, kiểm tra xem một điểm có nằm trên đường tròn hay không, so sánh khoảng cách đến tâm, và đo khoảng cách đường thẳng trong hình học 3D.

Kiểm tra nhanh trước khi tin vào đáp án

Hãy tự hỏi hai câu:

1. Mình đã trừ trước rồi mới bình phương chưa?
2. Khoảng cách cuối cùng có độ lớn hợp lý so với các độ thay đổi tọa độ không?

Hai bước kiểm tra này sẽ giúp phát hiện hầu hết lỗi sai rất nhanh.

Thử một bài tương tự

Tìm khoảng cách giữa $(-2, 3)$ và $(4, -1)$ trong 2D. Sau đó so sánh cách thiết lập của bạn với Công thức trung điểm để thấy sự khác nhau giữa việc tìm một độ dài và tìm một điểm nằm chính giữa đoạn thẳng.