Các quy tắc đạo hàm — lũy thừa, tích, thương và dây chuyền

Các quy tắc đạo hàm cho bạn biết công thức vi phân nào phù hợp với cấu trúc của một hàm số. Nếu biểu thức là lũy thừa, tích, thương hoặc hàm lồng nhau, hãy chọn quy tắc theo cấu trúc bên ngoài đó trước. Chỉ riêng thói quen này đã giúp phần lớn bài toán đạo hàm trở nên dễ hơn nhiều.

Các quy tắc đạo hàm chính và khi nào dùng

Quy tắc lũy thừa

Nếu $n$ là một hằng số thực, thì

$$\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$$

Ví dụ: $\frac{d}{dx}(x^5) = 5x^4$.

Dùng quy tắc này khi biểu thức là một lũy thừa đơn thuần của $x$. Nếu cơ số không chỉ là $x$, chẳng hạn $(3x+1)^5$, thì còn phải dùng thêm quy tắc dây chuyền.

Quy tắc tích

Nếu $f$ và $g$ khả vi, thì

$$\frac{d}{dx}(f(x)g(x)) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$

Dùng quy tắc này khi hai biểu thức đang thay đổi được nhân với nhau. Đạo hàm có hai hạng tử vì mỗi thừa số đều có thể làm cho tích thay đổi.

Quy tắc thương

Nếu $f$ và $g$ khả vi và $g(x) \ne 0$, thì

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$$

Dùng quy tắc này khi một biểu thức đang thay đổi được chia cho một biểu thức đang thay đổi khác. Điều kiện $g(x) \ne 0$ rất quan trọng vì hàm ban đầu không xác định tại những điểm mẫu số bằng không.

Quy tắc dây chuyền

Nếu $y = f(g(x))$, và cả hai hàm đều khả vi tại những điểm cần thiết, thì

$$\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

Dùng quy tắc này khi một hàm nằm bên trong một hàm khác. Nói đơn giản: lấy đạo hàm của hàm bên ngoài, giữ nguyên biểu thức bên trong, rồi nhân với đạo hàm của biểu thức bên trong.

Cách nhận biết nên dùng quy tắc đạo hàm nào

Đừng bắt đầu bằng cách cố tìm một công thức đã học thuộc. Hãy bắt đầu bằng câu hỏi: cấu trúc ngoài cùng của biểu thức là gì?

• $x^7$ là một lũy thừa.
• $x^2\sin(x)$ là một tích.
• $\frac{x^2+1}{x-3}$ là một thương.
• $(2x-1)^4$ hoặc $\sin(x^2)$ là hàm hợp, nên dùng quy tắc dây chuyền.

Nếu một biểu thức kết hợp nhiều cấu trúc, hãy bắt đầu với cấu trúc bên ngoài. Ví dụ, $x(2x-1)^4$ xét tổng thể là một tích, dù một thừa số của nó cũng cần dùng quy tắc dây chuyền.

Ví dụ có lời giải: quy tắc tích với quy tắc dây chuyền ở bên trong

Tìm đạo hàm của

$$y = x^2(3x+1)^4$$

Cấu trúc bên ngoài là một tích, nên trước hết dùng quy tắc tích. Đặt

$$f(x) = x^2 \quad \text{và} \quad g(x) = (3x+1)^4$$

Khi đó

$$y' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$

Lấy đạo hàm của thừa số thứ nhất:

$$f'(x) = 2x$$

Lấy đạo hàm của thừa số thứ hai bằng quy tắc dây chuyền:

$$g'(x) = 4(3x+1)^3 \cdot 3 = 12(3x+1)^3$$

Thay cả hai phần vào:

$$y' = 2x(3x+1)^4 + x^2 \cdot 12(3x+1)^3$$

Đây đã là một đáp án cuối cùng đúng. Nếu muốn dạng phân tích gọn hơn, hãy đặt nhân tử chung:

$$y' = 2x(3x+1)^3(9x+1)$$

Ý chính nằm ở thứ tự làm. Hãy chọn quy tắc tích từ cấu trúc bên ngoài, rồi chỉ dùng quy tắc dây chuyền ở nơi nó thực sự cần thiết bên trong thừa số $(3x+1)^4$.

Những lỗi thường gặp với các quy tắc đạo hàm

1. Dùng quy tắc lũy thừa cho toàn bộ biểu thức trong khi hàm thực ra là một tích hoặc một thương.
2. Viết đạo hàm của một tích thành $f'(x)g'(x)$ thay vì tổng của hai hạng tử.
3. Quên dấu trừ ở tử số của quy tắc thương.
4. Quên đạo hàm của hàm bên trong trong quy tắc dây chuyền, chẳng hạn biến $(3x+1)^4$ thành chỉ $4(3x+1)^3$.
5. Khai triển quá sớm và làm phần đại số khó hơn mức cần thiết.

Các quy tắc này được dùng ở đâu trong giải tích

Các quy tắc đạo hàm quan trọng ở mọi nơi bạn cần tốc độ thay đổi. Trong một khóa học giải tích, điều đó thường có nghĩa là hệ số góc tiếp tuyến, chuyển động, tối ưu hóa và dáng điệu đồ thị. Trong vật lý, chúng xuất hiện trong vận tốc và gia tốc. Trong kỹ thuật hoặc kinh tế học, chúng giúp mô tả một đại lượng phản ứng thế nào khi một đại lượng khác thay đổi.

Thử một bài tương tự

Lấy đạo hàm của

$$y = \frac{x^2+1}{(2x-3)^2}$$

Đây là một bài kiểm tra cấu trúc tốt vì dạng bên ngoài là một thương, trong khi mẫu số cũng cần dùng quy tắc dây chuyền.

Nếu bạn muốn xem thêm một bài gần giống, hãy tìm hiểu tiếp về Chain Rule hoặc Product Rule.