กฎลูกโซ่

กฎลูกโซ่คือกฎการหาอนุพันธ์สำหรับฟังก์ชันที่อยู่ภายในอีกฟังก์ชันหนึ่ง ถ้าปริมาณหนึ่งขึ้นอยู่กับขั้นกลาง และขั้นกลางนั้นขึ้นอยู่กับ $x$ อัตราการเปลี่ยนแปลงรวมจะได้จากการคูณการเปลี่ยนแปลงทั้งสองเข้าด้วยกัน

กฎลูกโซ่กล่าวว่าอย่างไร

ถ้า $y = f(g(x))$ และ $g$ หาอนุพันธ์ได้ที่ $x$ ขณะที่ $f$ หาอนุพันธ์ได้ที่ $g(x)$ จะได้ว่า:

$$\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

พูดแบบง่าย ๆ คือ หาอนุพันธ์ของฟังก์ชันด้านนอก โดยคงนิพจน์ด้านในไว้เหมือนเดิม แล้วคูณด้วยอนุพันธ์ของนิพจน์ด้านใน

แนวคิด

ฟังก์ชันประกอบเปลี่ยนแปลงเป็นสองชั้น ก่อนอื่น การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยของ $x$ ทำให้นิพจน์ด้านใน $g(x)$ เปลี่ยน จากนั้นการเปลี่ยนแปลงของ $g(x)$ นี้จึงทำให้ค่าด้านนอก $f(g(x))$ เปลี่ยน

กฎลูกโซ่เชื่อมการเปลี่ยนแปลงทั้งสองชั้นนี้เข้าด้วยกัน มันบอกว่าการเปลี่ยนแปลงโดยรวมเท่ากับการเปลี่ยนจากด้านนอกคูณกับการเปลี่ยนจากด้านใน

ตัวอย่างแบบทำให้ดู

จงหาอนุพันธ์ของ:

$$y = (3x^2 + 1)^5$$

ที่นี่ฟังก์ชันด้านในคือ:

$$u = 3x^2 + 1$$

และฟังก์ชันด้านนอกคือ:

$$y = u^5$$

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชันด้านนอกก่อน:

$$\frac{dy}{du} = 5u^4$$

จากนั้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันด้านใน:

$$\frac{du}{dx} = 6x$$

คูณเข้าด้วยกัน:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 5u^4 \cdot 6x$$

แทนกลับ $u = 3x^2 + 1$:

$$\frac{dy}{dx} = 30x(3x^2 + 1)^4$$

พจน์สุดท้ายนี้คือ $6x$ ซึ่งเป็นส่วนที่คนมักลืมบ่อยที่สุด

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

1. หาอนุพันธ์ของฟังก์ชันด้านนอกแล้วหยุดเร็วเกินไป สำหรับ $(3x^2 + 1)^5$, $5(3x^2 + 1)^4$ ยังไม่ใช่อนุพันธ์ครบถ้วน
2. ระบุฟังก์ชันด้านนอกผิด ใน $\sin(x^2)$ ฟังก์ชันด้านนอกคือ $\sin(\cdot)$ ไม่ใช่การยกกำลังสอง
3. ใช้กฎลูกโซ่ทั้งที่ไม่มีฟังก์ชันประกอบ สำหรับ $x^3 + 1$ คุณไม่จำเป็นต้องมีอนุพันธ์ด้านในเพิ่มเติม

ใช้เมื่อใด

กฎลูกโซ่จะปรากฏทุกครั้งที่มีฟังก์ชันซ้อนกัน ตัวอย่างที่พบบ่อย ได้แก่:

1. กำลังของนิพจน์ เช่น $(x^2 + 4x - 1)^7$
2. ฟังก์ชันตรีโกณมิติของนิพจน์ เช่น $\sin(5x)$ หรือ $\cos(x^3)$
3. ฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม เช่น $e^{x^2}$ หรือ $\ln(1 + x^4)$
4. การหาอนุพันธ์โดยปริยาย ซึ่งมักมีหลายขั้นของกฎลูกโซ่เกิดขึ้นพร้อมกัน

วิธีตรวจเร็ว

หลังจากหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบแล้ว ให้ถามตัวเองหนึ่งคำถาม: อนุพันธ์ของนิพจน์ด้านในปรากฏอยู่ที่ไหนสักแห่งในคำตอบหรือไม่?

ถ้าไม่ ก็มีโอกาสสูงว่าขั้นตอนการใช้กฎลูกโซ่ยังไม่สมบูรณ์

ลองทำด้วยตัวเอง

ลองพิจารณา $y = (2x - 3)^4$ และตั้งชื่อฟังก์ชันด้านในก่อนหาอนุพันธ์ ถ้าคำตอบสุดท้ายของคุณไม่มีอนุพันธ์ของ $2x - 3$ ให้ย้อนกลับไปทำขั้นตอนสุดท้ายใหม่และดูว่ามันหายไปตรงไหน