Kettenregel

Die Kettenregel ist die Ableitungsregel für eine Funktion in einer anderen Funktion. Wenn eine Größe von einem Zwischenschritt abhängt und dieser Zwischenschritt von $x$ abhängt, dann ergibt sich die gesamte Änderungsrate aus dem Produkt dieser beiden Änderungen.

Was die Kettenregel aussagt

Wenn $y = f(g(x))$ gilt und $g$ an der Stelle $x$ differenzierbar ist, während $f$ an der Stelle $g(x)$ differenzierbar ist, dann gilt:

$$\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

Einfach gesagt: Leite die äußere Funktion ab, lasse den inneren Ausdruck stehen und multipliziere dann mit der Ableitung des inneren Ausdrucks.

Intuition

Eine zusammengesetzte Funktion ändert sich auf zwei Ebenen. Zuerst verändert eine kleine Änderung in $x$ den inneren Ausdruck $g(x)$. Danach verändert diese Änderung in $g(x)$ den äußeren Wert $f(g(x))$.

Die Kettenregel verbindet diese Ebenen. Sie sagt, dass die gesamte Änderung gleich der äußeren Änderung mal der inneren Änderung ist.

Durchgerechnetes Beispiel

Bestimme die Ableitung von:

$$y = (3x^2 + 1)^5$$

Hier ist die innere Funktion:

$$u = 3x^2 + 1$$

und die äußere Funktion ist:

$$y = u^5$$

Leite zuerst die äußere Funktion ab:

$$\frac{dy}{du} = 5u^4$$

Jetzt leite die innere Funktion ab:

$$\frac{du}{dx} = 6x$$

Multipliziere beides:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 5u^4 \cdot 6x$$

Setze wieder $u = 3x^2 + 1$ ein:

$$\frac{dy}{dx} = 30x(3x^2 + 1)^4$$

Dieser letzte Faktor, $6x$, ist der Teil, den viele am häufigsten vergessen.

Häufige Fehler

1. Die äußere Funktion ableiten und zu früh aufhören. Bei $(3x^2 + 1)^5$ ist $5(3x^2 + 1)^4$ nicht die vollständige Ableitung.
2. Die äußere Funktion falsch bestimmen. Bei $\sin(x^2)$ ist die äußere Funktion $\sin(\cdot)$ und nicht das Quadrat.
3. Die Kettenregel anwenden, obwohl keine Verkettung vorliegt. Bei $x^3 + 1$ brauchst du keine zusätzliche innere Ableitung.

Wann du sie benutzt

Die Kettenregel taucht immer dann auf, wenn Funktionen ineinander verschachtelt sind. Häufige Beispiele sind:

1. Potenzen von Ausdrücken wie $(x^2 + 4x - 1)^7$
2. Trigonometrische Funktionen von Ausdrücken wie $\sin(5x)$ oder $\cos(x^3)$
3. Exponentialfunktionen und Logarithmen wie $e^{x^2}$ oder $\ln(1 + x^4)$
4. Implizites Ableiten, bei dem oft mehrere Schritte der Kettenregel gleichzeitig auftreten

Ein schneller Check

Stelle dir nach dem Ableiten einer zusammengesetzten Funktion eine Frage: Taucht die Ableitung des inneren Ausdrucks irgendwo in der Antwort auf?

Wenn nicht, ist der Schritt mit der Kettenregel sehr wahrscheinlich unvollständig.

Probiere eine eigene Variante

Nimm $y = (2x - 3)^4$ und benenne die innere Funktion, bevor du ableitest. Wenn in deiner endgültigen Antwort die Ableitung von $2x - 3$ nicht vorkommt, wiederhole den letzten Schritt und prüfe, wo sie verschwunden ist.