Reguła łańcuchowa

Reguła łańcuchowa to wzór na pochodną funkcji znajdującej się wewnątrz innej funkcji. Jeśli jedna wielkość zależy od etapu pośredniego, a ten etap pośredni zależy od $x$, to całkowite tempo zmian otrzymujemy przez pomnożenie tych dwóch zmian.

Co mówi reguła łańcuchowa

Jeśli $y = f(g(x))$, a $g$ jest różniczkowalna w punkcie $x$, natomiast $f$ jest różniczkowalna w punkcie $g(x)$, to:

$$\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

Mówiąc prościej: zróżniczkuj funkcję zewnętrzną, pozostaw wyrażenie wewnętrzne na swoim miejscu, a potem pomnóż przez pochodną funkcji wewnętrznej.

Intuicja

Funkcja złożona zmienia się na dwóch poziomach. Najpierw mała zmiana w $x$ zmienia wyrażenie wewnętrzne $g(x)$. Następnie ta zmiana w $g(x)$ zmienia wartość zewnętrzną $f(g(x))$.

Reguła łańcuchowa łączy te dwa poziomy. Mówi, że całkowita zmiana to zmiana z zewnątrz pomnożona przez zmianę od wewnątrz.

Przykład z rozwiązaniem

Wyznacz pochodną funkcji:

$$y = (3x^2 + 1)^5$$

Tutaj funkcją wewnętrzną jest:

$$u = 3x^2 + 1$$

a funkcją zewnętrzną jest:

$$y = u^5$$

Najpierw zróżniczkuj funkcję zewnętrzną:

$$\frac{dy}{du} = 5u^4$$

Teraz zróżniczkuj funkcję wewnętrzną:

$$\frac{du}{dx} = 6x$$

Pomnóż je:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 5u^4 \cdot 6x$$

Podstaw z powrotem $u = 3x^2 + 1$:

$$\frac{dy}{dx} = 30x(3x^2 + 1)^4$$

Ten ostatni czynnik, $6x$, to część, o której ludzie najczęściej zapominają.

Typowe błędy

1. Zróżniczkowanie funkcji zewnętrznej i zatrzymanie się zbyt wcześnie. Dla $(3x^2 + 1)^5$ wyrażenie $5(3x^2 + 1)^4$ nie jest pełną pochodną.
2. Błędne rozpoznanie funkcji zewnętrznej. W $\sin(x^2)$ funkcją zewnętrzną jest $\sin(\cdot)$, a nie potęgowanie do kwadratu.
3. Stosowanie reguły łańcuchowej tam, gdzie nie ma złożenia. Dla $x^3 + 1$ nie potrzebujesz dodatkowej pochodnej funkcji wewnętrznej.

Kiedy jej używasz

Reguła łańcuchowa pojawia się zawsze wtedy, gdy funkcje są zagnieżdżone. Typowe przykłady to:

1. Potęgi wyrażeń, takie jak $(x^2 + 4x - 1)^7$
2. Funkcje trygonometryczne wyrażeń, takie jak $\sin(5x)$ lub $\cos(x^3)$
3. Funkcje wykładnicze i logarytmy, takie jak $e^{x^2}$ lub $\ln(1 + x^4)$
4. Różniczkowanie uwikłane, gdzie często pojawia się kilka kroków z regułą łańcuchową naraz

Szybka kontrola

Po zróżniczkowaniu funkcji złożonej zadaj sobie jedno pytanie: czy pochodna wyrażenia wewnętrznego pojawia się gdzieś w odpowiedzi?

Jeśli nie, istnieje duża szansa, że krok z regułą łańcuchową jest niepełny.

Spróbuj samodzielnie

Weź $y = (2x - 3)^4$ i nazwij funkcję wewnętrzną, zanim zaczniesz różniczkować. Jeśli w końcowej odpowiedzi nie ma pochodnej $2x - 3$, wykonaj ostatni krok jeszcze raz i sprawdź, gdzie zniknęła.