Regola della catena

La regola della catena è la regola di derivazione per una funzione contenuta dentro un’altra funzione. Se una quantità dipende da un passaggio intermedio, e quel passaggio intermedio dipende da $x$, il tasso di variazione totale si ottiene moltiplicando insieme queste due variazioni.

Cosa dice la regola della catena

Se $y = f(g(x))$, e $g$ è derivabile in $x$ mentre $f$ è derivabile in $g(x)$, allora:

$$\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

In parole semplici: deriva la funzione esterna, lascia al suo posto l’espressione interna, poi moltiplica per la derivata dell’espressione interna.

Intuizione

Una funzione composta cambia su due livelli. Prima, una piccola variazione di $x$ modifica l’espressione interna $g(x)$. Poi quella variazione di $g(x)$ modifica il valore esterno $f(g(x))$.

La regola della catena collega questi due livelli. Dice che la variazione complessiva è la variazione dall’esterno moltiplicata per la variazione dall’interno.

Esempio svolto

Trova la derivata di:

$$y = (3x^2 + 1)^5$$

Qui la funzione interna è:

$$u = 3x^2 + 1$$

e la funzione esterna è:

$$y = u^5$$

Deriva prima la funzione esterna:

$$\frac{dy}{du} = 5u^4$$

Ora deriva la funzione interna:

$$\frac{du}{dx} = 6x$$

Moltiplicale:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 5u^4 \cdot 6x$$

Sostituisci di nuovo $u = 3x^2 + 1$:

$$\frac{dy}{dx} = 30x(3x^2 + 1)^4$$

Quell’ultimo fattore, $6x$, è la parte che più spesso si dimentica.

Errori comuni

1. Derivare la funzione esterna e fermarsi troppo presto. Per $(3x^2 + 1)^5$, $5(3x^2 + 1)^4$ non è la derivata completa.
2. Identificare male la funzione esterna. In $\sin(x^2)$, la funzione esterna è $\sin(\cdot)$, non il quadrato.
3. Usare la regola della catena quando non c’è composizione. Per $x^3 + 1$, non serve una derivata interna aggiuntiva.

Quando si usa

La regola della catena compare ogni volta che le funzioni sono annidate. Esempi comuni includono:

1. Poteri di espressioni come $(x^2 + 4x - 1)^7$
2. Funzioni trigonometriche di espressioni come $\sin(5x)$ o $\cos(x^3)$
3. Esponenziali e logaritmi come $e^{x^2}$ o $\ln(1 + x^4)$
4. Derivazione implicita, dove spesso compaiono più passaggi della regola della catena insieme

Un controllo rapido

Dopo aver derivato una funzione composta, fatti una domanda: la derivata dell’espressione interna compare da qualche parte nella risposta?

Se no, è molto probabile che il passaggio della regola della catena sia incompleto.

Prova una tua versione

Prendi $y = (2x - 3)^4$ e assegna un nome alla funzione interna prima di derivare. Se la tua risposta finale non include la derivata di $2x - 3$, rifai l’ultimo passaggio e controlla dove è scomparsa.