連鎖律

連鎖律は、ある関数の中に別の関数が入っているときの微分法則です。ある量が途中の段階に依存し、その途中の段階がさらに $x$ に依存しているなら、全体の変化率はその2つの変化を掛け合わせることで求まります。

連鎖律の内容

$y = f(g(x))$ とし、$g$ が $x$ で微分可能で、$f$ が $g(x)$ で微分可能なら、次が成り立ちます。

$$\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

言葉で言えば、外側の関数を微分し、内側の式はそのまま残し、最後に内側の式の導関数を掛けます。

直感的な考え方

合成関数の変化は2段階で起こります。まず、$x$ の小さな変化が内側の式 $g(x)$ を変えます。次に、その $g(x)$ の変化が外側の値 $f(g(x))$ を変えます。

連鎖律はこの2つの段階をつなぐものです。全体の変化は、外側による変化と内側による変化を掛けたものになる、ということです。

計算例

次の導関数を求めます。

$$y = (3x^2 + 1)^5$$

ここで内側の関数は

$$u = 3x^2 + 1$$

外側の関数は

$$y = u^5$$

です。

まず外側の関数を微分します。

$$\frac{dy}{du} = 5u^4$$

次に内側の関数を微分します。

$$\frac{du}{dx} = 6x$$

これらを掛けます。

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 5u^4 \cdot 6x$$

$u = 3x^2 + 1$ を戻すと、

$$\frac{dy}{dx} = 30x(3x^2 + 1)^4$$

となります。

最後の因子である $6x$ を忘れるのが、いちばんよくあるミスです。

よくあるミス

1. 外側の関数を微分したところで早く止めてしまうこと。$(3x^2 + 1)^5$ に対して、$5(3x^2 + 1)^4$ だけでは完全な導関数ではありません。
2. 外側の関数を取り違えること。$\sin(x^2)$ では、外側の関数は2乗ではなく $\sin(\cdot)$ です。
3. 合成になっていないのに連鎖律を使うこと。$x^3 + 1$ では、余分な内側の導関数は必要ありません。

使う場面

連鎖律は、関数が入れ子になっているときに現れます。よくある例は次のとおりです。

1. $(x^2 + 4x - 1)^7$ のような式のべき乗
2. $\sin(5x)$ や $\cos(x^3)$ のような式を引数にもつ三角関数
3. $e^{x^2}$ や $\ln(1 + x^4)$ のような指数関数や対数関数
4. 陰関数微分のように、連鎖律の手順がいくつも同時に現れる場合

すばやい確認

合成関数を微分したあと、1つだけ確認してみてください。内側の式の導関数が、答えのどこかに入っていますか。

入っていなければ、連鎖律の手順が不完全である可能性が高いです。

自分でもやってみよう

$y = (2x - 3)^4$ を取り、微分する前に内側の関数に名前を付けてみましょう。最終的な答えに $2x - 3$ の導関数が入っていなければ、最後の手順をやり直して、どこで消えたのか確認してみてください。