Aturan Rantai

Aturan rantai adalah aturan turunan untuk fungsi yang berada di dalam fungsi lain. Jika suatu besaran bergantung pada langkah perantara, dan langkah perantara itu bergantung pada $x$, maka laju perubahan total diperoleh dengan mengalikan kedua perubahan tersebut.

Apa yang Dinyatakan Aturan Rantai

Jika $y = f(g(x))$, dan $g$ terdiferensialkan di $x$ sementara $f$ terdiferensialkan di $g(x)$, maka:

$$\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

Dalam bahasa sederhana: turunkan fungsi luar, biarkan ekspresi dalam tetap pada tempatnya, lalu kalikan dengan turunan dari ekspresi dalam.

Intuisi

Fungsi komposisi berubah dalam dua lapisan. Pertama, perubahan kecil pada $x$ mengubah ekspresi dalam $g(x)$. Lalu perubahan pada $g(x)$ itu mengubah nilai luar $f(g(x))$.

Aturan rantai menghubungkan kedua lapisan tersebut. Aturan ini menyatakan bahwa perubahan keseluruhan adalah perubahan dari luar dikalikan perubahan dari dalam.

Contoh Soal

Carilah turunan dari:

$$y = (3x^2 + 1)^5$$

Di sini fungsi dalamnya adalah:

$$u = 3x^2 + 1$$

dan fungsi luarnya adalah:

$$y = u^5$$

Turunkan fungsi luar terlebih dahulu:

$$\frac{dy}{du} = 5u^4$$

Sekarang turunkan fungsi dalam:

$$\frac{du}{dx} = 6x$$

Kalikan keduanya:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 5u^4 \cdot 6x$$

Substitusikan kembali $u = 3x^2 + 1$:

$$\frac{dy}{dx} = 30x(3x^2 + 1)^4$$

Faktor terakhir itu, $6x$, adalah bagian yang paling sering terlupakan.

Kesalahan Umum

1. Menurunkan fungsi luar lalu berhenti terlalu cepat. Untuk $(3x^2 + 1)^5$, $5(3x^2 + 1)^4$ bukan turunan lengkapnya.
2. Salah mengidentifikasi fungsi luar. Pada $\sin(x^2)$, fungsi luarnya adalah $\sin(\cdot)$, bukan kuadratnya.
3. Menggunakan aturan rantai ketika tidak ada komposisi. Untuk $x^3 + 1$, Anda tidak memerlukan turunan dalam tambahan.

Kapan Digunakan

Aturan rantai muncul setiap kali fungsi-fungsi saling bersarang. Contoh yang umum meliputi:

1. Pangkat dari suatu ekspresi seperti $(x^2 + 4x - 1)^7$
2. Fungsi trigonometri dari suatu ekspresi seperti $\sin(5x)$ atau $\cos(x^3)$
3. Eksponensial dan logaritma seperti $e^{x^2}$ atau $\ln(1 + x^4)$
4. Diferensiasi implisit, di mana beberapa langkah aturan rantai sering muncul sekaligus

Pemeriksaan Cepat

Setelah menurunkan fungsi komposisi, ajukan satu pertanyaan: apakah turunan dari ekspresi dalam muncul di suatu bagian jawaban?

Jika tidak, besar kemungkinan langkah aturan rantainya belum lengkap.

Coba Versi Anda Sendiri

Ambil $y = (2x - 3)^4$ dan beri nama fungsi dalamnya sebelum Anda menurunkan. Jika jawaban akhir Anda tidak memuat turunan dari $2x - 3$, ulangi langkah terakhir dan periksa di mana bagian itu hilang.