Règle de la chaîne

La règle de la chaîne est la règle de dérivation d’une fonction à l’intérieur d’une autre fonction. Si une grandeur dépend d’une étape intermédiaire, et que cette étape intermédiaire dépend de $x$, alors le taux de variation total s’obtient en multipliant ces deux variations.

Ce que dit la règle de la chaîne

Si $y = f(g(x))$, et que $g$ est dérivable en $x$ tandis que $f$ est dérivable en $g(x)$, alors :

$$\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

En langage simple : dérivez la fonction extérieure, gardez l’expression intérieure telle quelle, puis multipliez par la dérivée de l’expression intérieure.

Intuition

Une fonction composée varie en deux couches. D’abord, une petite variation de $x$ modifie l’expression intérieure $g(x)$. Ensuite, cette variation de $g(x)$ modifie la valeur extérieure $f(g(x))$.

La règle de la chaîne relie ces deux couches. Elle dit que la variation globale est la variation de l’extérieur multipliée par la variation de l’intérieur.

Exemple détaillé

Déterminez la dérivée de :

$$y = (3x^2 + 1)^5$$

Ici, la fonction intérieure est :

$$u = 3x^2 + 1$$

et la fonction extérieure est :

$$y = u^5$$

Dérivez d’abord la fonction extérieure :

$$\frac{dy}{du} = 5u^4$$

Dérivez maintenant la fonction intérieure :

$$\frac{du}{dx} = 6x$$

Multipliez-les :

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 5u^4 \cdot 6x$$

Remplacez ensuite $u = 3x^2 + 1$ :

$$\frac{dy}{dx} = 30x(3x^2 + 1)^4$$

Ce dernier facteur, $6x$, est la partie que l’on oublie le plus souvent.

Erreurs fréquentes

1. Dériver la fonction extérieure et s’arrêter trop tôt. Pour $(3x^2 + 1)^5$, $5(3x^2 + 1)^4$ n’est pas la dérivée complète.
2. Mal identifier la fonction extérieure. Dans $\sin(x^2)$, la fonction extérieure est $\sin(\cdot)$, pas le carré.
3. Utiliser la règle de la chaîne alors qu’il n’y a pas de composition. Pour $x^3 + 1$, vous n’avez pas besoin d’une dérivée intérieure supplémentaire.

Quand l’utiliser

La règle de la chaîne apparaît chaque fois que des fonctions sont imbriquées. Voici des exemples courants :

1. Des puissances d’expressions comme $(x^2 + 4x - 1)^7$
2. Des fonctions trigonométriques d’expressions comme $\sin(5x)$ ou $\cos(x^3)$
3. Des exponentielles et des logarithmes comme $e^{x^2}$ ou $\ln(1 + x^4)$
4. La dérivation implicite, où plusieurs étapes de règle de la chaîne apparaissent souvent en même temps

Une vérification rapide

Après avoir dérivé une fonction composée, posez-vous une question : la dérivée de l’expression intérieure apparaît-elle quelque part dans la réponse ?

Si ce n’est pas le cas, il y a de fortes chances que l’étape de la règle de la chaîne soit incomplète.

Essayez votre propre version

Prenez $y = (2x - 3)^4$ et nommez la fonction intérieure avant de dériver. Si votre réponse finale n’inclut pas la dérivée de $2x - 3$, refaites la dernière étape et vérifiez à quel moment elle a disparu.