Regla de la cadena

La regla de la cadena es la regla de derivación para una función dentro de otra función. Si una cantidad depende de un paso intermedio, y ese paso intermedio depende de $x$, la tasa total de cambio se obtiene multiplicando esos dos cambios.

Qué dice la regla de la cadena

Si $y = f(g(x))$, y $g$ es derivable en $x$ mientras que $f$ es derivable en $g(x)$, entonces:

$$\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

En lenguaje sencillo: deriva la función externa, deja la expresión interna en su lugar y luego multiplica por la derivada de la expresión interna.

Intuición

Una función compuesta cambia en dos capas. Primero, un pequeño cambio en $x$ cambia la expresión interna $g(x)$. Luego, ese cambio en $g(x)$ modifica el valor externo $f(g(x))$.

La regla de la cadena conecta esas capas. Dice que el cambio total es el cambio de afuera por el cambio de adentro.

Ejemplo resuelto

Halla la derivada de:

$$y = (3x^2 + 1)^5$$

Aquí la función interna es:

$$u = 3x^2 + 1$$

y la función externa es:

$$y = u^5$$

Deriva primero la función externa:

$$\frac{dy}{du} = 5u^4$$

Ahora deriva la función interna:

$$\frac{du}{dx} = 6x$$

Multiplícalas:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 5u^4 \cdot 6x$$

Sustituye de nuevo $u = 3x^2 + 1$:

$$\frac{dy}{dx} = 30x(3x^2 + 1)^4$$

Ese último factor, $6x$, es la parte que la gente olvida con más frecuencia.

Errores comunes

1. Derivar la función externa y detenerse demasiado pronto. Para $(3x^2 + 1)^5$, $5(3x^2 + 1)^4$ no es la derivada completa.
2. Identificar mal la función externa. En $\sin(x^2)$, la función externa es $\sin(\cdot)$, no el cuadrado.
3. Usar la regla de la cadena cuando no hay composición. Para $x^3 + 1$, no necesitas una derivada interna adicional.

Cuándo se usa

La regla de la cadena aparece siempre que las funciones están anidadas. Algunos ejemplos comunes son:

1. Potencias de expresiones como $(x^2 + 4x - 1)^7$
2. Funciones trigonométricas de expresiones como $\sin(5x)$ o $\cos(x^3)$
3. Exponenciales y logaritmos como $e^{x^2}$ o $\ln(1 + x^4)$
4. Derivación implícita, donde a menudo aparecen varios pasos de regla de la cadena al mismo tiempo

Una comprobación rápida

Después de derivar una función compuesta, hazte una pregunta: ¿aparece la derivada de la expresión interna en algún lugar de la respuesta?

Si no, es muy probable que el paso de la regla de la cadena esté incompleto.

Prueba tu propia versión

Toma $y = (2x - 3)^4$ y nombra la función interna antes de derivar. Si tu respuesta final no incluye la derivada de $2x - 3$, rehace el último paso y revisa dónde desapareció.