Regra da Cadeia

A regra da cadeia é a regra de derivação para uma função dentro de outra função. Se uma quantidade depende de uma etapa intermediária, e essa etapa intermediária depende de $x$, a taxa total de variação vem de multiplicar essas duas variações.

O Que Diz a Regra da Cadeia

Se $y = f(g(x))$, e $g$ é diferenciável em $x$ enquanto $f$ é diferenciável em $g(x)$, então:

$$\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

Em linguagem simples: derive a função externa, mantenha a expressão interna no lugar e depois multiplique pela derivada da expressão interna.

Intuição

Uma função composta varia em duas camadas. Primeiro, uma pequena variação em $x$ altera a expressão interna $g(x)$. Depois, essa variação em $g(x)$ altera o valor externo $f(g(x))$.

A regra da cadeia conecta essas camadas. Ela diz que a variação total é a variação do lado de fora vezes a variação do lado de dentro.

Exemplo Resolvido

Encontre a derivada de:

$$y = (3x^2 + 1)^5$$

Aqui a função interna é:

$$u = 3x^2 + 1$$

e a função externa é:

$$y = u^5$$

Derive primeiro a função externa:

$$\frac{dy}{du} = 5u^4$$

Agora derive a função interna:

$$\frac{du}{dx} = 6x$$

Multiplique:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 5u^4 \cdot 6x$$

Substitua de volta $u = 3x^2 + 1$:

$$\frac{dy}{dx} = 30x(3x^2 + 1)^4$$

Esse último fator, $6x$, é a parte que as pessoas mais costumam esquecer.

Erros Comuns

1. Derivar a função externa e parar cedo demais. Para $(3x^2 + 1)^5$, $5(3x^2 + 1)^4$ não é a derivada completa.
2. Identificar errado a função externa. Em $\sin(x^2)$, a função externa é $\sin(\cdot)$, não o quadrado.
3. Usar a regra da cadeia quando não há composição. Para $x^3 + 1$, você não precisa de uma derivada interna extra.

Quando Você Usa

A regra da cadeia aparece sempre que há funções encaixadas. Exemplos comuns incluem:

1. Potências de expressões, como $(x^2 + 4x - 1)^7$
2. Funções trigonométricas de expressões, como $\sin(5x)$ ou $\cos(x^3)$
3. Exponenciais e logaritmos, como $e^{x^2}$ ou $\ln(1 + x^4)$
4. Derivação implícita, em que várias etapas da regra da cadeia costumam aparecer ao mesmo tempo

Uma Verificação Rápida

Depois de derivar uma função composta, faça uma pergunta: a derivada da expressão interna apareceu em algum lugar da resposta?

Se não, há uma boa chance de que a etapa da regra da cadeia esteja incompleta.

Tente Sua Própria Versão

Pegue $y = (2x - 3)^4$ e dê um nome à função interna antes de derivar. Se sua resposta final não incluir a derivada de $2x - 3$, refaça a última etapa e veja em que ponto ela desapareceu.