Zincir Kuralı

Zincir kuralı, bir fonksiyon başka bir fonksiyonun içindeyken kullanılan türev kuralıdır. Bir büyüklük ara bir adıma bağlıysa ve bu ara adım da $x$'e bağlıysa, toplam değişim hızı bu iki değişimin çarpımından gelir.

Zincir Kuralı Ne Söyler?

Eğer $y = f(g(x))$ ise ve $g$, $x$ noktasında türevlenebilirken $f$ de $g(x)$ noktasında türevlenebilirse, o zaman:

$$\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

Basitçe söylemek gerekirse: dıştaki fonksiyonun türevini alın, içteki ifadeyi yerinde bırakın, sonra içteki ifadenin türeviyle çarpın.

Sezgi

Bileşik bir fonksiyon iki katmanda değişir. Önce $x$'teki küçük bir değişim içteki ifade olan $g(x)$'i değiştirir. Sonra $g(x)$'teki bu değişim dıştaki değer olan $f(g(x))$'i değiştirir.

Zincir kuralı bu katmanları birbirine bağlar. Toplam değişimin, dıştan gelen değişim ile içten gelen değişimin çarpımı olduğunu söyler.

Çözümlü Örnek

Şu ifadenin türevini bulun:

$$y = (3x^2 + 1)^5$$

Burada iç fonksiyon:

$$u = 3x^2 + 1$$

ve dış fonksiyon:

$$y = u^5$$

Önce dış fonksiyonun türevini alın:

$$\frac{dy}{du} = 5u^4$$

Şimdi iç fonksiyonun türevini alın:

$$\frac{du}{dx} = 6x$$

Bunları çarpın:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 5u^4 \cdot 6x$$

$u = 3x^2 + 1$ ifadesini geri yerine yazın:

$$\frac{dy}{dx} = 30x(3x^2 + 1)^4$$

İnsanların en sık unuttuğu kısım, son çarpan olan $6x$'tir.

Yaygın Hatalar

1. Dış fonksiyonun türevini alıp çok erken durmak. $(3x^2 + 1)^5$ için $5(3x^2 + 1)^4$ tam türev değildir.
2. Dış fonksiyonu yanlış belirlemek. $\sin(x^2)$ ifadesinde dış fonksiyon kare alma değil, $\sin(\cdot)$ fonksiyonudur.
3. Bileşim yokken zincir kuralını kullanmak. $x^3 + 1$ için ek bir iç türeve ihtiyacınız yoktur.

Ne Zaman Kullanılır?

Zincir kuralı, fonksiyonlar iç içe geçtiğinde ortaya çıkar. Yaygın örnekler şunlardır:

1. $(x^2 + 4x - 1)^7$ gibi ifadelerin kuvvetleri
2. $\sin(5x)$ veya $\cos(x^3)$ gibi ifadelerin trigonometrik fonksiyonları
3. $e^{x^2}$ veya $\ln(1 + x^4)$ gibi üstel ve logaritmik ifadeler
4. Birden fazla zincir kuralı adımının sıkça aynı anda görüldüğü örtük türev alma

Hızlı Bir Kontrol

Bileşik bir fonksiyonun türevini aldıktan sonra şu soruyu sorun: içteki ifadenin türevi cevapta bir yerde görünüyor mu?

Görünmüyorsa, zincir kuralı adımı büyük olasılıkla eksik kalmıştır.

Kendi Versiyonunuzu Deneyin

$y = (2x - 3)^4$ ifadesini alın ve türev almadan önce iç fonksiyona bir ad verin. Son cevabınızda $2x - 3$ ifadesinin türevi yer almıyorsa, son adımı yeniden yapın ve onun nerede kaybolduğunu kontrol edin.