합성함수 미분법

합성함수 미분법은 함수 안에 또 다른 함수가 들어 있을 때 쓰는 미분 규칙입니다. 바깥 함수의 변화와 안쪽 함수의 변화를 함께 따라가야 하므로, 두 변화율을 곱해 전체 변화율을 구합니다.

공식

만약 $y = f(g(x))$ 이고, $g$ 가 $x$ 에서 미분 가능하며 $f$ 가 $g(x)$ 에서 미분 가능하다면:

$$\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

말로 풀면, 바깥 함수를 먼저 미분하고 안쪽 식은 그대로 둔 뒤, 마지막에 안쪽 함수의 미분을 곱합니다.

왜 이렇게 되나

합성함수는 변화가 두 단계로 일어납니다.

1. $x$ 가 조금 변하면 먼저 안쪽 함수 $g(x)$ 가 변합니다.
2. 그다음 $g(x)$ 의 변화가 바깥 함수 $f(g(x))$ 의 값을 바꿉니다.

합성함수 미분법은 이 두 단계를 하나의 식으로 연결해 주는 규칙입니다.

예제

$y = (3x^2 + 1)^5$ 를 미분해 봅시다. 안쪽 함수를 $u = 3x^2 + 1$ 로 두면 바깥 함수는 $y = u^5$ 가 되므로, 바깥 미분과 안쪽 미분을 차례로 연결하면 됩니다.

$$\begin{aligned} y &= (3x^2 + 1)^5 \\[4pt] u &= 3x^2 + 1,\qquad y = u^5 \\[6pt] \frac{dy}{du} &= 5u^4,\qquad \frac{du}{dx} = 6x \\[6pt] \frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \\[4pt] &= 5u^4 \cdot 6x \\[4pt] &= 30x u^4 \\[4pt] &= 30x(3x^2 + 1)^4 \end{aligned}$$

많이 틀리는 지점은 마지막 줄로 갈 때 안쪽 함수의 미분인 $6x$ 를 빠뜨리는 것입니다.

자주 하는 실수

1. 바깥 함수만 미분하고 끝내기
2. 어떤 함수가 바깥 함수인지 잘못 잡기
3. 합성함수가 아닌데도 억지로 합성함수 미분법을 적용하기

예를 들어 $\sin(x^2)$ 에서는 바깥 함수가 $\sin(\cdot)$ 이고, $x^2$ 는 안쪽 함수입니다.

언제 자주 쓰나

합성함수 미분법은 함수가 중첩될 때 거의 항상 등장합니다.

1. $(x^2 + 4x - 1)^7$ 같은 거듭제곱
2. $\sin(5x)$, $\cos(x^3)$ 같은 삼각함수
3. $e^{x^2}$, $\ln(1 + x^4)$ 같은 지수와 로그
4. 음함수 미분처럼 여러 단계의 미분이 겹치는 경우

빠른 체크

합성함수를 미분한 뒤에는 안쪽 함수의 미분이 답 안에 실제로 들어갔는지 확인하면 됩니다. 그 항이 없다면, 대부분 합성함수 미분법이 중간에서 빠진 것입니다.

직접 해보기

$y = (2x - 3)^4$ 를 놓고 안쪽 함수를 먼저 이름 붙인 뒤 미분해 보세요. 최종 답에 $2x - 3$ 의 미분이 보이지 않으면 마지막 단계를 다시 확인하면 됩니다.