Pisagor Üçlüleri — Yaygın Üçlüler ve Nasıl Bulunur

Bir Pisagor üçlüsü, $a^2 + b^2 = c^2$ koşulunu sağlayan üç pozitif tam sayıdan $(a,b,c)$ oluşan bir kümedir. Basitçe söylemek gerekirse, bu üç sayı bir dik üçgenin tam sayı kenar uzunluklarıdır ve $c$ hipotenüstür. Klasik örnek $(3,4,5)$ üçlüsüdür çünkü $3^2 + 4^2 = 5^2$.

$$a^2 + b^2 = c^2$$

Bu fikri yalnızca üç değerin de pozitif tam sayı olduğu durumda kullanın. Birçok dik üçgen Pisagor teoremini sağlar, ancak yalnızca bazıları tam sayı kenar uzunlukları verir.

Bilinmesi Gereken Yaygın Pisagor Üçlüleri

Bunlar yeterince sık karşınıza çıkar; bu yüzden görür görmez tanımaya değer:

• $(3,4,5)$
• $(5,12,13)$
• $(8,15,17)$
• $(7,24,25)$

Bunların katları da işe yarar. Örneğin, $(3,4,5)$ üçlüsünü ikiyle çarparsanız $(6,8,10)$ elde edersiniz ve

$$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$$

Bu yüzden asal olmayan birçok üçlü, daha küçük üçlülerin ölçeklenmiş kopyasıdır.

Bir Üçlüyü Asal Yapan Nedir?

Asal bir Pisagor üçlüsünde $1$'den büyük ortak bölen yoktur. Örneğin, $(3,4,5)$ asaldır; ancak $(6,8,10)$ asal değildir çünkü üç sayının da $2$ ortak böleni vardır.

Bu önemlidir çünkü asal olmayan her üçlü, asal bir üçlünün ölçeklenmesiyle elde edilir. Asal üçlüleri anlarsanız, daha büyük aileyi de anlamış olursunuz.

Pisagor Üçlüleri Nasıl Bulunur?

Yeni üçlüler elde etmenin iki pratik yolu vardır.

Bildiğiniz Bir Üçlüyü Ölçekleyin

Eğer $(a,b,c)$ bir Pisagor üçlüsü ve $k$ pozitif bir tam sayıysa, o zaman $(ka,kb,kc)$ de bir Pisagor üçlüsüdür çünkü

$$(ka)^2 + (kb)^2 = k^2a^2 + k^2b^2 = k^2(a^2+b^2) = k^2c^2 = (kc)^2$$

Bu, $(9,12,15)$ veya $(10,24,26)$ gibi örnekler oluşturmanın en hızlı yoludur.

Öklid Formülünü Kullanın

Eğer $m$ ve $n$, $m > n > 0$ koşulunu sağlayan tam sayılarsa,

$$a = m^2 - n^2,\quad b = 2mn,\quad c = m^2 + n^2$$

bir Pisagor üçlüsü verir.

Eğer asal bir üçlü istiyorsanız, yani üç sayının $1$'den büyük ortak böleni olmamasını istiyorsanız, ayrıca $m$ ve $n$ aralarında asal olmalı ve ikisi birden tek olmamalıdır.

Çözümlü Örnek: Bir Üçlü Üretme

$m = 4$ ve $n = 1$ alın. $m > n > 0$ olduğundan Öklid formülü uygulanabilir.

O hâlde

$$a = 4^2 - 1^2 = 15,\quad b = 2(4)(1) = 8,\quad c = 4^2 + 1^2 = 17$$

Dolayısıyla $(8,15,17)$ bir Pisagor üçlüsüdür.

Bunu doğrudan doğrulayabilirsiniz:

$$8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2$$

Şimdi bunu $2$ ile ölçeklerseniz $(16,30,34)$ elde edersiniz. Dik üçgenin şekli aynı kalır, ancak kenar uzunlukları iki katına çıkar.

Bu örnek, iki ana fikri aynı anda gösterir: Öklid formülü bir üçlü üretir ve ölçekleme daha fazlasını üretir.

Pisagor Üçlülerinde Yaygın Hatalar

Tam Sayı Koşulunu Unutmak

$a^2+b^2=c^2$ denkleminin birçok reel sayı çözümü vardır, ancak bir Pisagor üçlüsünde üç değerin de pozitif tam sayı olması gerekir.

Her Geçerli Üçlüye Asal Demek

$(6,8,10)$ geçerli bir üçlüdür, ancak asal değildir çünkü üç sayının da ortak böleni $2$'dir.

"Üçlü" ile "Asal Üçlü"yü Karıştırmak

Bir üçlünün yalnızca pozitif tam sayılarla $a^2+b^2=c^2$ koşulunu sağlaması gerekir. $m$ ve $n$ üzerindeki ek koşullar yalnızca üçlünün asal olmasını istiyorsanız önemlidir.

En Büyük Sayıyı Yanlış Yere Koymak

$(a,b,c)$ üçlüsünde $c$ hipotenüstür, bu yüzden en büyük sayı olmak zorundadır.

Pisagor Üçlüleri Ne Zaman Kullanışlıdır?

Bunlar dik üçgen geometrisinde, analitik geometride ve giriş düzeyi sayılar teorisinde karşınıza çıkar. Ayrıca üç tam sayının bir dik üçgen oluşturup oluşturamayacağını hızlıca kontrol etmek istediğinizde de kullanışlıdır.

İspata dayalı matematikte bunlar, Diofant denklemlerinin standart bir örneğidir: tüm reel sayı çözümleri yerine tam sayı çözümlerinin arandığı denklemler.

Benzer Bir Problem Deneyin

Öklid formülünde $m = 5$ ve $n = 2$ kullanın, sonra sonucu $a^2 + b^2 = c^2$ içinde doğrulayın. Bir adım daha ileri gitmek isterseniz, aynı ilişkinin eksik kenar uzunluklarını bulmak için nasıl kullanıldığını görmek üzere Pisagor Teoremi konusuna göz atın.