Kosinüs Teoremi — Formül, İspat ve Örnekler

Bir üçgen dik üçgen değilse ve ya iki kenarla aralarındaki açıyı ya da üç kenarın tamamını biliyorsanız kosinüs teoremini kullanın. $A$, $B$, $C$ açılarına karşılık gelen $a$, $b$, $c$ kenarları için standart biçim şöyledir:

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$$

Burada $c$ kenarı, $C$ açısının karşısındadır ve $C$, $a$ ile $b$ kenarları arasındaki açıdır. Aynı düzen diğer kenarlar için de geçerlidir:

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$$ $$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$$

Eğer $C = 90^\circ$ ise $\cos C = 0$ olur, dolayısıyla formül $c^2 = a^2 + b^2$ haline gelir. Bu yüzden kosinüs teoremi, Pisagor teoreminin bir genellemesidir.

Kosinüs teoremi ne zaman kullanılır?

En yaygın durum SAS'tır: iki kenar ve aralarındaki açı. Aradaki açı, bilinen bu iki kenarın oluşturduğu açıdır.

SSS durumunda da çalışır: üç kenarın tamamı bilinir ve bir açı bulunmak istenir. Bu durumda ters kosinüsü kullanmadan önce formülü yeniden düzenleyin.

Eğer zaten bir kenarı ve onun karşısındaki açıyı biliyorsanız, ilk araç olarak sinüs teoremi çoğu zaman daha uygundur.

Formül ne anlatır?

İki kenar sabit kalırsa üçüncü kenar, aralarındaki açıya bağlıdır.

Aradaki açı büyüdükçe karşı kenar uzar. Açı küçüldükçe karşı kenar kısalır. $-2ab\cos C$ terimi, bu açıyı hesaba katmak için basit $a^2 + b^2$ toplamını düzeltir.

İnsanların hatırlaması gereken kısım bu düzeltme terimidir. Bu terim olmadan her üçgeni dik üçgen gibi ele almış olursunuz.

Çözümlü örnek: bir kenarı bulma

Bir üçgende $a = 5$ ve $b = 7$ olsun, ayrıca aradaki açı $C = 60^\circ$ olsun. $c$ kenarını bulun.

$c$, bilinen $C$ açısının karşısında olduğundan şunu kullanırız:

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$$

Değerleri yerine yazalım:

$$c^2 = 5^2 + 7^2 - 2(5)(7)\cos 60^\circ$$

$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ olduğuna göre,

$$c^2 = 25 + 49 - 70\left(\frac{1}{2}\right) = 74 - 35 = 39$$

O halde

$$c = \sqrt{39} \approx 6.24$$

Bu sonuç mantıklıdır: üçüncü kenar $5$'ten büyüktür ama $7 + 5 = 12$'den küçüktür ve açı da aşırı büyük değil, orta büyüklüktedir.

Üç kenardan bir açı nasıl bulunur?

Üç kenarın tamamı biliniyorsa önce kosinüsü yalnız bırakın:

$$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$$

Sonra şunu hesaplayın:

$$C = \cos^{-1}\left(\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\right)$$

Bu yalnızca $a$, $b$ ve $c$ geçerli bir üçgen oluşturuyorsa anlamlıdır. Eğer $\cos^{-1}$ içindeki değer $[-1, 1]$ aralığının dışındaysa, daha önceki cebir adımlarında ya da verilerde bir hata vardır.

Kısa bir ispat fikri

Temiz bir ispat, koordinatlardan gelir.

Bir kenarı $x$ ekseni üzerine yerleştirin. Bir köşe $(0, 0)$ noktasında, diğer köşe $(b, 0)$ noktasında olsun. Üçüncü köşeyi de $(a\cos C, a\sin C)$ noktasına koyun; çünkü bu noktanın orijine uzaklığı $a$'dır ve $x$ ekseniyle $C$ açısını yapar.

Şimdi $(b, 0)$ ile $(a\cos C, a\sin C)$ arasındaki uzaklık formülünü kullanın:

$$c^2 = (b - a\cos C)^2 + (0 - a\sin C)^2$$

Açalım:

$$c^2 = b^2 - 2ab\cos C + a^2\cos^2 C + a^2\sin^2 C$$

Sonra

$$\sin^2 C + \cos^2 C = 1$$

eşitliğini kullanarak son iki terimi birleştirin:

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$$

İşte bu, kosinüs teoremidir.

Yaygın hatalar

Yanlış kenar ile açıyı eşleştirmek

Formüldeki açı, denklemin sol tarafındaki kenarın karşısında olmalıdır. Eğer $C$ açısını kullanıyorsanız, sol tarafta $c^2$ olmalıdır.

Formülü her üçgen dik üçgenmiş gibi kullanmak

Açı $90^\circ$ değilse, $-2ab\cos C$ terimini atamazsınız.

Hesap makinesi modunu unutmak

Soruda derece veriliyorsa hesap makineniz derece modunda olmalıdır. Radyan veriliyorsa radyan modunu kullanın.

Bir açıyı bulurken kosinüsü dikkatlice yalnız bırakmamak

Üç kenarın tamamı biliniyorsa önce formülü düzenleyin, sonra ters kosinüsü kullanın. Buradaki küçük bir cebir hatası son açıyı ciddi biçimde bozabilir.

Kosinüs teoremi nerelerde kullanılır?

Kosinüs teoremi; geometri, trigonometri, haritacılık, navigasyon ve dik olmayan üçgenlerde uzaklık bulmanız gereken her tür problemde yaygındır.

Okul matematiğinde iki temel kullanım şunlardır:

• iki kenar ve aralarındaki açıdan eksik bir kenarı bulmak
• üç kenarın tamamından eksik bir açıyı bulmak

Eğer zaten bir dik üçgeniniz varsa, Pisagor teoremi genellikle daha basit seçenektir. Onun yerine bir kenar-açı çifti biliyorsanız, sinüs teoremi daha uygun olabilir.

Kendi örneğinizi deneyin

$a = 8$, $b = 11$ ve $C = 30^\circ$ alın, sonra $c$'yi bulun. Ardından $C$'yi $120^\circ$ yapın ve sonucu karşılaştırın. Karşı kenarın büyümesini izlemek, formülü sezgisel hale getirmenin en hızlı yollarından biridir.

Kendi sayılarınızla adım adım geri bildirim istiyorsanız, GPAI Solver'da benzer bir üçgeni inceleyin.