Uzaklık Formülü — 2D ve 3D'de İki Nokta Arası

Uzaklık formülü, koordinat düzleminde veya 3 boyutlu uzayda iki nokta arasındaki doğru parçasının uzunluğunu verir. 2D'de $(x_1, y_1)$ ve $(x_2, y_2)$ noktaları için

$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

3D'de $(x_1, y_1, z_1)$ ve $(x_2, y_2, z_2)$ noktaları için

$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$$

Bu formülü, yalnızca yatay ya da dikey değişimi değil, iki nokta arasındaki gerçek uzunluğu istediğinizde kullanırsınız. Her eksenin aynı birim ölçeğini kullandığı standart Kartezyen koordinatlarda geçerlidir.

2D'de Uzaklık Formülü: Neyi Ölçer?

Formül, birbirine dik iki değişimi birleştirir: $x$ yönünde ne kadar hareket ettiğiniz ve $y$ yönünde ne kadar hareket ettiğiniz. Bu değişimler bir dik üçgenin dik kenarlarını oluşturur ve noktalar arasındaki uzaklık hipotenüstür.

Uzaklık Formülü Neden Çalışır?

Düzlemde uzaklık formülü doğrudan Pisagor teoreminden gelir. Eğer

$$\Delta x = x_2 - x_1$$

ve

$$\Delta y = y_2 - y_1$$

ise

$$d^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2$$

dolayısıyla

$$d = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$$

Yani bu formül ezberlenecek ayrı bir kural değildir. Pisagor teoreminin koordinat biçiminde yazılmış halidir.

3D'de buna bir dik değişim daha eklersiniz:

$$d^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2$$

Bu, aynı fikrin bir boyut daha genişletilmiş halidir.

Çözümlü Örnek: İki Nokta Arasındaki Uzaklık

$(1, 2)$ ile $(5, 7)$ arasındaki uzaklığı bulun.

2D uzaklık formülüyle başlayın:

$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

Koordinatları yerine yazın:

$$d = \sqrt{(5 - 1)^2 + (7 - 2)^2}$$

Farkları sadeleştirin:

$$d = \sqrt{4^2 + 5^2}$$

Karelerini alıp toplayın:

$$d = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}$$

Dolayısıyla tam uzaklık $\sqrt{41}$ olur. Ondalık olarak $d \approx 6.4$.

Kısa bir kontrol yardımcı olur. Noktalar yatayda $4$ birim, dikeyde $5$ birim ayrıdır; bu yüzden doğru parçasının uzunluğu $5$'ten büyük ama $9$'dan küçük olmalıdır. $\sqrt{41}$ bu aralığa uyar.

3D'de Uzaklık Formülü

Kurulum aynıdır, ancak şimdi $z$'deki değişimi de dahil edersiniz.

Örneğin $(1, 2, 3)$ ile $(5, 7, 6)$ arasında koordinat değişimleri $4$, $5$ ve $3$ olduğundan

$$d = \sqrt{4^2 + 5^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 25 + 9} = \sqrt{50}$$

Yöntem değişmez. Eşleşen koordinatları çıkarır, farkların karelerini alır, toplar ve pozitif karekökü alırsınız.

Uzaklık Formülünde Sık Yapılan Hatalar

1. Çıkarmadan önce karesini almak. Formül $(x_2 - x_1)^2$ kullanır, $x_2^2 - x_1^2$ değil.
2. Karekökü unutmak. Kareleri topladıktan sonra durursanız $d$'yi değil, $d^2$'yi bulmuş olursunuz.
3. Eksenleri karıştırmak. Bir $x$ koordinatı diğer $x$ koordinatıyla eşleşmelidir; aynı şey $y$ ve $z$ için de geçerlidir.
4. Yerine yazarken eksi işaretini kaybetmek. Örneğin $-1 - 3 = -4$ olur, $4$ değil.
5. Grafikte standart Kartezyen uzaklık kullanılmıyorsa formülü uygulamak. Eksenler farklı ölçekler kullanıyorsa geometrik uzaklık değişir.

Uzaklık Formülünü Ne Zaman Kullanırsınız?

Koordinat geometrisinde iki nokta verildiğinde ve soru bu noktalar arasındaki doğru parçasının uzunluğunu istediğinde uzaklık formülünü kullanırsınız.

Yaygın durumlar arasında grafikte kenar uzunluklarını bulmak, bir noktanın çember üzerinde olup olmadığını kontrol etmek, bir merkeze olan uzaklıkları karşılaştırmak ve 3D geometride doğrusal ayrımı ölçmek yer alır.

Cevaba Güvenmeden Önce Hızlı Kontrol

Şu iki soruyu sorun:

1. Önce çıkarıp sonra karesini aldım mı?
2. Son uzaklık, koordinat değişimlerine göre makul bir büyüklükte mi?

Bu iki kontrol, çoğu hatayı hızlıca yakalar.

Benzer Bir Soru Deneyin

2D'de $(-2, 3)$ ile $(4, -1)$ arasındaki uzaklığı bulun. Sonra, bir uzunluk bulmakla doğru parçasının tam ortasındaki noktayı bulmak arasındaki farkı görmek için kurulumunuzu Orta Nokta Formülü ile karşılaştırın.