ทฤษฎีบทวงกลม — มุม เส้นสัมผัส และคอร์ด

ทฤษฎีบทวงกลมคือกฎสำหรับหามุมในรูปที่มีคอร์ด เส้นสัมผัส รัศมี และสี่เหลี่ยมในวงกลม หากจับคู่ทฤษฎีบทให้ตรงกับเงื่อนไขที่ถูกต้อง รูปวงกลมที่ดูซับซ้อนก็มักจะกลายเป็นสมการมุมง่าย ๆ เพียงหนึ่งหรือสองสมการ

เงื่อนไขสำคัญทุกครั้ง คุณจะใช้ทฤษฎีบทวงกลมได้ก็ต่อเมื่อรูปมีองค์ประกอบที่ต้องการจริง ๆ เช่น มุมที่รองรับคอร์ดเดียวกัน เส้นสัมผัสจริงที่แตะวงกลมเพียงจุดเดียว หรือจุดยอดทั้งสี่อยู่บนวงกลมเดียวกันทั้งหมด

ทฤษฎีบทวงกลมที่ต้องใช้บ่อยที่สุด

นี่คือทฤษฎีบทวงกลมที่นักเรียนใช้บ่อยที่สุดในโจทย์ไล่มุม

มุมที่จุดศูนย์กลางเป็นสองเท่าของมุมที่เส้นรอบวง

ถ้ามุมที่จุดศูนย์กลางและมุมที่เส้นรอบวงรองรับส่วนโค้งเดียวกัน มุมที่จุดศูนย์กลางจะมีขนาดเป็นสองเท่าของมุมที่เส้นรอบวง

ถ้ามุมที่จุดศูนย์กลางมีขนาดเป็น $\theta$ มุมในวงกลมที่รองรับส่วนโค้งเดียวกันจะเป็น

$$\frac{\theta}{2}$$

ข้อนี้ช่วยให้เปลี่ยนจากมุมใหญ่ที่จุดศูนย์กลางไปเป็นมุมเล็กบนวงกลมได้อย่างรวดเร็ว

มุมในเซกเมนต์เดียวกันเท่ากัน

ถ้ามุมสองมุมที่เส้นรอบวงรองรับคอร์ดเดียวกันและอยู่ในเซกเมนต์เดียวกัน มุมทั้งสองจะเท่ากัน

ข้อนี้มีประโยชน์เมื่อจุดสองจุดบนวงกลมต่างก็ “มองเห็น” คอร์ดเดียวกัน ถ้าทั้งสองมุมรองรับคอร์ดเดียวกันจากเซกเมนต์เดียวกัน มุมก็จะเท่ากัน

มุมในครึ่งวงกลมมีขนาด $90^\circ$

ถ้าวาดสามเหลี่ยมโดยให้ด้านหนึ่งเป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง มุมที่จุดบนเส้นรอบวงจะเป็นมุมฉาก

นี่เป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทมุมที่จุดศูนย์กลาง เพราะมุมที่จุดศูนย์กลางซึ่งรองรับเส้นผ่านศูนย์กลางมีขนาด $180^\circ$ และครึ่งหนึ่งของค่านั้นคือ $90^\circ$

มุมตรงข้ามในสี่เหลี่ยมในวงกลมรวมกันได้ $180^\circ$

สี่เหลี่ยมในวงกลมคือสี่เหลี่ยมที่จุดยอดทั้งสี่อยู่บนวงกลมเดียวกัน

ถ้ามุม $A$ และ $C$ เป็นมุมตรงข้ามกันในสี่เหลี่ยมในวงกลม จะได้ว่า

$$A + C = 180^\circ$$

เช่นเดียวกันกับมุมตรงข้ามอีกคู่หนึ่ง

รัศมีกับเส้นสัมผัสตัดกันเป็นมุม $90^\circ$

ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งเป็นเส้นสัมผัสวงกลม มันจะสัมผัสวงกลมที่จุดเดียวพอดี รัศมีที่ลากไปยังจุดนั้นจะตั้งฉากกับเส้นสัมผัส

ดังนั้นถ้า $OA$ เป็นรัศมี และเส้นตรงที่จุด $A$ เป็นเส้นสัมผัส มุมระหว่างทั้งสองจะเป็น

$$90^\circ$$

มุมระหว่างเส้นสัมผัสกับคอร์ด เท่ากับมุมในเซกเมนต์ตรงข้าม

ข้อนี้มักเรียกว่า ทฤษฎีบทเส้นสัมผัส–คอร์ด

ถ้าเส้นสัมผัสแตะวงกลมที่ปลายด้านหนึ่งของคอร์ด มุมระหว่างเส้นสัมผัสกับคอร์ดจะเท่ากับมุมที่เส้นรอบวงซึ่งรองรับคอร์ดนั้นในเซกเมนต์ตรงข้าม

นี่เป็นทางลัดที่ทรงพลัง เพราะเปลี่ยนมุมของเส้นที่อยู่นอกวงกลมให้กลายเป็นมุมภายในวงกลมที่คุ้นเคย

ตัวอย่างทำโจทย์: หาสองมุมจากมุมที่จุดศูนย์กลางมุมเดียว

สมมติว่า $O$ เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม และคอร์ด $AB$ รองรับมุมที่จุดศูนย์กลาง $\angle AOB = 110^\circ$ จุด $C$ อยู่บนเส้นรอบวงบนส่วนโค้งฝั่งตรงข้ามกับคอร์ด $AB$ และมีเส้นสัมผัสแตะวงกลมที่จุด $A$

จงหา:

1. มุมที่เส้นรอบวง $\angle ACB$
2. มุมระหว่างเส้นสัมผัสที่จุด $A$ กับคอร์ด $AB$

เริ่มจากทฤษฎีบทมุมที่จุดศูนย์กลาง มุมที่เส้นรอบวงซึ่งรองรับคอร์ด $AB$ มีขนาดเป็นครึ่งหนึ่งของมุมที่จุดศูนย์กลางที่รองรับคอร์ด $AB$ ดังนั้น

$$\angle ACB = \frac{110^\circ}{2} = 55^\circ$$

ต่อไปใช้ทฤษฎีบทเส้นสัมผัส–คอร์ด มุมระหว่างเส้นสัมผัสที่จุด $A$ กับคอร์ด $AB$ เท่ากับมุมในเซกเมนต์ตรงข้ามที่รองรับคอร์ด $AB$ ซึ่งก็คือมุม $\angle ACB$ ดังนั้นมุมระหว่างเส้นสัมผัสกับคอร์ดจึงเป็น

$$55^\circ$$

จุดสำคัญไม่ใช่การคำนวณ แต่คือการสังเกตว่ามุมที่ไม่ทราบค่าทั้งสองมาจากคอร์ดเดียวกันคือ $AB$

วิธีเลือกใช้ทฤษฎีบทวงกลมให้ถูกข้อ

ให้ถามคำถามเหล่านี้ตามลำดับ:

1. มีมุมที่จุดศูนย์กลางที่ระบุไว้ และมีมุมบนวงกลมที่สอดคล้องกันหรือไม่?
2. มีด้านใดด้านหนึ่งเป็นเส้นผ่านศูนย์กลางหรือไม่?
3. มีเส้นสัมผัสที่แตะวงกลมเพียงจุดเดียวหรือไม่?
4. จุดยอดทั้งสี่ของสี่เหลี่ยมอยู่บนวงกลมหรือไม่?
5. มีมุมสองมุมที่รองรับคอร์ดเดียวกันหรือไม่?

เช็กลิสต์สั้น ๆ นี้มักช่วยบอกได้ว่าควรใช้ทฤษฎีบทใดกับรูปนั้น

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเกี่ยวกับทฤษฎีบทวงกลม

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยอย่างหนึ่งคือใช้กฎ “สองเท่า” กับมุมที่ไม่ได้รองรับส่วนโค้งเดียวกัน มุมที่จุดศูนย์กลางและมุมที่เส้นรอบวงต้องมาจากส่วนโค้งเดียวกัน

อีกข้อผิดพลาดหนึ่งคือเรียกเส้นตรงว่าเป็นเส้นสัมผัสเพียงเพราะดูเหมือนแตะวงกลม ในโจทย์พิสูจน์หรือข้อสอบ ต้องมีการระบุหรือแสดงให้ได้ก่อนว่าเป็นเส้นสัมผัสจริง

นักเรียนยังมักสับสนระหว่าง “มุมในเซกเมนต์เดียวกันเท่ากัน” กับ “มุมตรงข้ามในสี่เหลี่ยมในวงกลมรวมกันได้ $180^\circ$” ทฤษฎีบทหนึ่งให้ความเท่ากัน แต่อีกทฤษฎีบทหนึ่งให้มุมคู่เสริม

ข้อผิดพลาดสุดท้ายคือคิดว่ารูปสี่เหลี่ยมใด ๆ ที่อยู่ใกล้วงกลมเป็นสี่เหลี่ยมในวงกลม สำหรับทฤษฎีบทสี่เหลี่ยมในวงกลม จุดยอดทั้งสี่ต้องอยู่บนวงกลมทั้งหมด

ทฤษฎีบทวงกลมถูกใช้เมื่อไร

ทฤษฎีบทวงกลมพบได้ในเรขาคณิตระดับโรงเรียน การพิสูจน์แบบไล่มุม การตั้งโจทย์เรขาคณิตวิเคราะห์ และข้อสอบที่รูปให้ข้อมูลมากกว่าที่เห็นในตอนแรก

ทฤษฎีบทเหล่านี้มีประโยชน์มากโดยเฉพาะเมื่อคุณต้องพิสูจน์ความสัมพันธ์ของเส้น หาองศาที่หายไปอย่างรวดเร็ว หรือเชื่อมมุมของเส้นสัมผัสภายนอกเข้ากับมุมภายในวงกลม

ลองทำแบบของคุณเอง

วาดวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง $O$ และคอร์ด $PQ$ ให้ $\angle POQ = 84^\circ$ วางจุด $R$ บนเส้นรอบวงบนส่วนโค้งฝั่งตรงข้ามกับคอร์ด $PQ$ แล้วลากเส้นสัมผัสที่จุด $P$

จงหา $\angle PRQ$ แล้วหามุมระหว่างเส้นสัมผัสที่จุด $P$ กับคอร์ด $PQ$

ถ้าคุณต้องการตรวจวิธีทำทีละขั้น ลองแก้โจทย์ลักษณะคล้ายกันใน GPAI Solver แล้วดูว่าคุณจับคู่แต่ละทฤษฎีบทกับเงื่อนไขได้ถูกต้องหรือไม่