สามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ — SSS, SAS, ASA, AAS และ HL

สามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการคือสามเหลี่ยมที่มีขนาดและรูปร่างเหมือนกัน ในโจทย์เรขาคณิตส่วนใหญ่ เราพิสูจน์ความเท่ากันทุกประการด้วย 5 เกณฑ์ ได้แก่ SSS, SAS, ASA, AAS หรือ HL นอกจากนี้ยังต้องรู้ด้วยว่าทางลัดที่มักใช้ผิดคืออะไร โดยเฉพาะ AAA และ SSA

ถ้าสามเหลี่ยมรูปหนึ่งสามารถเลื่อน หมุน หรือสะท้อนแล้วทับกับอีกรูปได้พอดี แสดงว่าสามเหลี่ยมทั้งสองเท่ากันทุกประการ ลำดับของจุดยอดมีความสำคัญ เพราะบอกว่าส่วนใดสอดคล้องกัน

ความหมายของสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ

ถ้า $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ แล้วส่วนที่สอดคล้องกันจะเท่ากัน:

$$\triangle ABC \cong \triangle DEF$$

นั่นหมายความว่า

$$AB = DE,\ BC = EF,\ AC = DF$$

และ

$$\angle A = \angle D,\ \angle B = \angle E,\ \angle C = \angle F$$

ข้อความ $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ จับคู่ $A$ กับ $D$, $B$ กับ $E$ และ $C$ กับ $F$ ถ้าเขียนลำดับตัวอักษรผิด ก็อาจจับคู่ด้านและมุมผิดได้

เกณฑ์การเท่ากันทุกประการของสามเหลี่ยมที่ใช้ได้จริง

SSS: ด้าน-ด้าน-ด้าน

ถ้าความยาวของด้านทั้งสามคู่เท่ากัน สามเหลี่ยมทั้งสองจะเท่ากันทุกประการ

ด้านทั้งสามกำหนดสามเหลี่ยมได้เพียงรูปเดียว ยกเว้นกรณีสะท้อน

SAS: ด้าน-มุม-ด้าน

ถ้าด้านสองคู่และมุมแทรกระหว่างด้านทั้งสองคู่นั้นเท่ากัน สามเหลี่ยมทั้งสองจะเท่ากันทุกประการ

เงื่อนไขสำคัญคือมุมแทรก มุมนั้นต้องเป็นมุมที่เกิดจากด้านสองด้านที่ทราบค่า

ASA: มุม-ด้าน-มุม

ถ้ามุมสองคู่และด้านแทรกระหว่างมุมทั้งสองคู่นั้นเท่ากัน สามเหลี่ยมทั้งสองจะเท่ากันทุกประการ

เมื่อกำหนดมุมสองมุมแล้ว มุมที่สามก็ถูกกำหนดตามไปด้วย ส่วนด้านจะกำหนดขนาดของสามเหลี่ยม

AAS: มุม-มุม-ด้าน

ถ้ามุมสองคู่และด้านที่ไม่ใช่ด้านแทรกเท่ากัน สามเหลี่ยมทั้งสองจะเท่ากันทุกประการ

เหตุผลเหมือนกับ ASA คือ มุมสองมุมกำหนดรูปร่าง และด้านหนึ่งด้านกำหนดขนาด

HL: ด้านตรงข้ามมุมฉาก-ด้านประกอบมุมฉาก

HL ใช้ได้เฉพาะกับสามเหลี่ยมมุมฉาก ถ้าสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูปมีด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากันและมีด้านประกอบมุมฉากด้านหนึ่งเท่ากัน ก็จะเท่ากันทุกประการ

ถ้าไม่มีเงื่อนไขว่าเป็นมุมฉาก จะใช้ HL ไม่ได้

ตัวอย่างการใช้ SAS

สมมติว่าทราบว่า

$$AB = DE = 7,\quad AC = DF = 5,\quad \angle A = \angle D = 40^\circ$$

และในแต่ละสามเหลี่ยม มุมที่ทราบอยู่ระหว่างด้านสองด้านที่ทราบ

ข้อมูลนี้เพียงพอสำหรับ SAS:

$$AB = DE$$ $$AC = DF$$ $$\angle A = \angle D$$

ดังนั้นสามเหลี่ยมทั้งสองเท่ากันทุกประการ:

$$\triangle ABC \cong \triangle DEF$$

หลังจากนั้น ส่วนที่สอดคล้องกันทุกส่วนก็จะเท่ากันด้วย ตัวอย่างเช่น $BC = EF$ และ $\angle B = \angle E$

ข้อสังเกตสำคัญอยู่ที่ตำแหน่ง ไม่ใช่ตัวเลข มุมที่เท่ากันอยู่ระหว่างด้านที่เท่ากันทั้งสองด้าน จึงเป็น SAS ไม่ใช่ SSA

ทำไม AAA และ SSA จึงยังไม่เพียงพอ

AAA

AAA ไม่สามารถพิสูจน์ความเท่ากันทุกประการได้ พิสูจน์ได้เพียงว่าสามเหลี่ยมคล้ายกัน

ตัวอย่างเช่น สามเหลี่ยมด้านเท่าสองรูปอาจมีมุม $60^\circ$, $60^\circ$ และ $60^\circ$ เหมือนกันทั้งหมด แต่มีความยาวด้านต่างกันได้

SSA

โดยทั่วไป SSA ไม่ใช่เกณฑ์ที่ใช้พิสูจน์ความเท่ากันทุกประการได้ การรู้ด้านสองด้านและมุมที่ไม่ใช่มุมแทรก อาจทำให้เกิดสามเหลี่ยมได้มากกว่าหนึ่งรูป หรือบางครั้งอาจสร้างสามเหลี่ยมไม่ได้เลย

นี่จึงเป็นเหตุผลที่ SSA ถูกเรียกว่าเป็นกรณีกำกวม ข้อยกเว้นพิเศษที่พบบ่อยคือ HL ซึ่งใช้ได้เพราะสามเหลี่ยมทั้งสองเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเกี่ยวกับความเท่ากันทุกประการของสามเหลี่ยม

1. ใช้ SAS ทั้งที่มุมที่ทราบไม่ได้อยู่ระหว่างด้านสองด้านที่ทราบ
2. ใช้ HL กับสามเหลี่ยมที่ไม่ได้ระบุหรือแสดงว่าเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก
3. คิดว่า AAA พิสูจน์ความเท่ากันทุกประการได้ ทั้งที่จริงพิสูจน์ได้เพียงความคล้าย
4. จับคู่จุดยอดผิดเมื่อเขียนข้อความแสดงความเท่ากันทุกประการ

สามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการนำไปใช้ที่ไหน

สามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการพบได้ในบทพิสูจน์ทางเรขาคณิต โจทย์การสร้างรูป เรขาคณิตวิเคราะห์ และงานออกแบบที่ชิ้นส่วนต้องประกอบกันได้พอดี

แนวคิดนี้มีประโยชน์มากเมื่อโจทย์ให้ความยาวหรือมุมมาเพียงไม่กี่ค่า แต่ถามหาส่วนอื่นเพิ่มเติม เมื่อพิสูจน์ได้แล้วว่าสามเหลี่ยมเท่ากันทุกประการ ก็สามารถใช้ข้อมูลของส่วนที่สอดคล้องกันที่เหลือได้อย่างมั่นใจ

ลองพิจารณากรณีที่คล้ายกัน

พิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูปที่มีด้านตรงข้ามมุมฉากยาว $10$ และมีด้านประกอบมุมฉากด้านหนึ่งยาว $6$ HL จะพิสูจน์ได้ว่าสามเหลี่ยมทั้งสองเท่ากันทุกประการก็ต่อเมื่อทั้งสองรูปเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น ถ้าตัดเงื่อนไขนี้ออก เหตุผลนี้จะใช้ไม่ได้ ซึ่งเป็นวิธีที่ดีในการจำว่า HL เป็นกรณีพิเศษ