สัดส่วนตรงและสัดส่วนผกผัน — สูตรและตัวอย่าง

สัดส่วนตรงหมายถึงปริมาณสองอย่างเปลี่ยนไปด้วยตัวคูณเดียวกัน จึงทำให้อัตราส่วนคงที่ ส่วนสัดส่วนผกผันหมายถึงปริมาณหนึ่งเพิ่มขึ้น ขณะที่อีกปริมาณหนึ่งลดลงในลักษณะที่ทำให้ผลคูณคงที่ สรุปสั้น ๆ คือ สัดส่วนตรงใช้ $y = kx$ ส่วนสัดส่วนผกผันใช้ $y = \frac{k}{x}$

สัดส่วนตรงกับสัดส่วนผกผันแบบดูภาพรวม

ถ้าปริมาณสองอย่างเป็นสัดส่วนตรง เมื่อปริมาณหนึ่งเพิ่มเป็นสองเท่า อีกปริมาณก็จะเพิ่มเป็นสองเท่าด้วย แต่ถ้าเป็นสัดส่วนผกผัน เมื่อปริมาณหนึ่งเพิ่มเป็นสองเท่า อีกปริมาณจะลดลงเหลือครึ่งหนึ่ง

สูตรมาตรฐานคือ

$$y = kx$$

สำหรับสัดส่วนตรง และ

$$y = \frac{k}{x}$$

สำหรับสัดส่วนผกผัน โดยที่ $k$ เป็นค่าคงที่ และ $x \ne 0$

วิธีตรวจสอบที่เร็วที่สุดคือ:

• สัดส่วนตรง: $\frac{y}{x}$ คงที่
• สัดส่วนผกผัน: $xy$ คงที่

สัดส่วนตรงหมายถึงอะไร

ในสัดส่วนตรง ปริมาณหนึ่งจะเป็นจำนวนเท่าคงที่ของอีกปริมาณหนึ่งเสมอ ถ้าปากการาคาด้ามละ $2$ ดอลลาร์ ต้นทุนรวม $C$ จะเป็นสัดส่วนตรงกับจำนวนปากกา $n$:

$$C = 2n$$

ในที่นี้ ค่าคงที่ของสัดส่วนคือ $k = 2$ อัตราส่วน $\frac{C}{n}$ จะเท่ากับ $2$ ตลอด ตราบใดที่ราคาต่อชิ้นยังคงเดิม

เงื่อนไขนี้สำคัญมาก ถ้ามีค่าจัดส่งคงที่หรือมีส่วนลดเมื่อซื้อจำนวนมาก ความสัมพันธ์นี้จะไม่เป็นสัดส่วนตรงอีกต่อไป

สัดส่วนผกผันหมายถึงอะไร

ในสัดส่วนผกผัน สิ่งที่คงที่ไม่ใช่อัตราส่วน แต่เป็นผลคูณ ตัวอย่างที่พบบ่อยคือ เวลาและจำนวนคนงานสำหรับงานเดียวกัน โดยสมมติว่าคนงานทุกคนทำงานได้ในอัตราเท่ากัน และไม่นับผลกระทบจากการประสานงานที่ทำให้ประสิทธิภาพลดลง

ถ้า $w$ คือจำนวนคนงาน และ $t$ คือเวลา จะได้ว่า

$$wt = k$$

ดังนั้น ถ้าเพิ่มจำนวนคนงานเป็นสองเท่า เวลาที่ใช้จะลดลงเหลือครึ่งหนึ่ง

แบบจำลองนี้จะเป็นสัดส่วนผกผันได้ก็ต่อเมื่อปริมาณงานรวมคงที่ และคนงานทุกคนมีประสิทธิภาพเท่ากัน ในงานจริง การเพิ่มคนงานไม่ได้ทำให้เวลาลดลงอย่างสมบูรณ์เสมอไป

ตัวอย่างทำโจทย์: สัดส่วนตรงกับสัดส่วนผกผัน

เมื่อวางเทียบกัน จะเห็นความแตกต่างได้ชัดขึ้น

ตัวอย่างสัดส่วนตรง

สมมติว่าสมุด $4$ เล่ม ราคา $12$ ดอลลาร์ โดยมีราคาต่อเล่มคงที่

ราคาต่อสมุดหนึ่งเล่มคือ

$$k = \frac{12}{4} = 3$$

ดังนั้น สมการสัดส่วนตรงคือ

$$C = 3n$$

ถ้าคุณซื้อสมุด $7$ เล่ม จะได้ว่า

$$C = 3(7) = 21$$

ดังนั้น สมุด $7$ เล่ม ราคา $21$ ดอลลาร์

ตัวอย่างสัดส่วนผกผัน

ต่อไป สมมติว่าคนงาน $4$ คน สามารถทำงานชิ้นเดิมเสร็จได้ใน $6$ ชั่วโมง โดยทุกคนทำงานได้เท่ากัน และปริมาณงานรวมเท่าเดิม

ผลคูณคงที่คือ

$$k = wt = 4 \cdot 6 = 24$$

ดังนั้น สมการสัดส่วนผกผันคือ

$$t = \frac{24}{w}$$

ถ้ามีคนงาน $8$ คน ทำงานนี้ จะได้ว่า

$$t = \frac{24}{8} = 3$$

ดังนั้น งานนี้ใช้เวลา $3$ ชั่วโมง

ใจความสำคัญของความแตกต่างคือ:

• ในกรณีสัดส่วนตรง อัตราส่วนคงที่: $\frac{12}{4} = \frac{21}{7} = 3$
• ในกรณีสัดส่วนผกผัน ผลคูณคงที่: $4 \cdot 6 = 8 \cdot 3 = 24$

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเกี่ยวกับสัดส่วนตรงและสัดส่วนผกผัน

คิดว่าความสัมพันธ์ที่เพิ่มขึ้นทุกแบบเป็นสัดส่วนตรง

ไม่ใช่ทุกความสัมพันธ์ที่เพิ่มขึ้นจะเป็นสัดส่วนตรง สำหรับสัดส่วนตรง อัตราส่วนต้องคงที่ และแบบจำลองต้องอยู่ในรูป $y = kx$

ตัวอย่างเช่น $y = x + 5$ เพิ่มขึ้นเมื่อ $x$ เพิ่มขึ้น แต่ไม่ใช่สัดส่วนตรง เพราะ $\frac{y}{x}$ ไม่คงที่

คิดว่าความสัมพันธ์ที่ลดลงทุกแบบเป็นสัดส่วนผกผัน

ไม่ใช่ทุกความสัมพันธ์ที่ลดลงจะเป็นสัดส่วนผกผัน สำหรับสัดส่วนผกผัน ผลคูณต้องคงที่

ตัวอย่างเช่น $y = 10 - x$ ลดลง แต่ $xy$ ไม่คงที่ จึงไม่ใช่สัดส่วนผกผัน

มองข้ามเงื่อนไขที่ทำให้แบบจำลองใช้ได้

สูตรเหล่านี้ใช้ได้เมื่อสถานการณ์ยังคงเรียบง่าย ราคาต่อหน่วยคงที่ทำให้เกิดสัดส่วนตรง ปริมาณงานรวมคงที่และอัตราการทำงานของคนงานเท่ากันทำให้เกิดสัดส่วนผกผัน ถ้าเงื่อนไขเหล่านี้เปลี่ยน แบบจำลองอาจใช้ไม่ได้

สัดส่วนตรงและสัดส่วนผกผันใช้ที่ไหนบ้าง

สัดส่วนตรงพบได้ในสถานการณ์อย่างการซื้อของที่มีราคาคงที่ มาตราส่วนแผนที่ การแปลงหน่วย และระยะทางที่เดินทางได้ด้วยความเร็วคงที่

สัดส่วนผกผันพบได้ในโจทย์อัตราการทำงาน ความเร็วกับเวลาเดินทางเมื่อระยะทางคงที่ และความสัมพันธ์ทางฟิสิกส์อย่างง่ายที่ปริมาณหนึ่งต้องลดลงเพื่อให้อีกปริมาณหนึ่งคงที่

ทั้งสองกรณี ทักษะสำคัญคือการสังเกตว่าอะไรเป็นค่าคงที่

จะดูอย่างไรว่าเป็นสัดส่วนตรงหรือสัดส่วนผกผัน

ถ้ายังไม่แน่ใจว่าควรใช้แบบจำลองไหน ให้เริ่มจากทดสอบค่าคู่หนึ่งที่ทราบก่อน

1. คำนวณ $\frac{y}{x}$ ถ้าค่านี้เท่ากันในทุกจุดข้อมูลที่ใช้ได้ ให้คิดถึงสัดส่วนตรง
2. คำนวณ $xy$ ถ้าค่านี้คงที่แทน ให้คิดถึงสัดส่วนผกผัน
3. ถ้าไม่มีค่าใดคงที่เลย ความสัมพันธ์นั้นก็น่าจะไม่ใช่ทั้งสองแบบ

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

เปลี่ยนตัวเลขหนึ่งค่าในแต่ละตัวอย่าง โดยยังคงเงื่อนไขเดิมไว้ สำหรับตัวอย่างสมุด ให้เปลี่ยนราคาต่อเล่ม สำหรับตัวอย่างคนงาน ให้เปลี่ยนจำนวนคนงาน แล้วตรวจดูว่าผลคูณยังคงที่หรือไม่