อัตราส่วน — การย่อ การเปรียบเทียบ และโจทย์ปัญหา

อัตราส่วนใช้เปรียบเทียบปริมาณสองจำนวนตามลำดับที่กำหนดไว้ ถ้าในห้องเรียนมีนักเรียนหญิง $12$ คน และนักเรียนชาย $8$ คน อัตราส่วนของหญิงต่อชายคือ $12:8$ ซึ่งย่อได้เป็น $3:2$

นั่นไม่ได้แปลว่ามีนักเรียนหญิงแค่ $3$ คน และนักเรียนชาย $2$ คน แต่หมายความว่าการเปรียบเทียบนี้สมมูลกัน คือทุก ๆ นักเรียนหญิง $3$ คน จะมีนักเรียนชาย $2$ คน

อัตราส่วนในคณิตศาสตร์หมายถึงอะไร

อัตราส่วนแสดงให้เห็นว่าปริมาณหนึ่งสัมพันธ์กับอีกปริมาณหนึ่งอย่างไร คุณสามารถเขียนเป็น $a:b$ อ่านว่า "a ต่อ b" หรือเขียนเป็น $\frac{a}{b}$ เมื่อต้องการมองการเปรียบเทียบนี้เป็นผลหาร และ $b \neq 0$

ลำดับมีความสำคัญ อัตราส่วน $3:2$ ไม่เหมือนกับ $2:3$ เพราะจำนวนตัวแรกจะอ้างถึงปริมาณตัวแรกที่ถูกกล่าวถึงเสมอ

อัตราส่วนจะใช้ได้ดีที่สุดเมื่อปริมาณทั้งสองเป็นสิ่งชนิดเดียวกัน หรือเมื่อคุณแปลงให้เป็นหน่วยเดียวกันก่อน หากต้องการเปรียบเทียบ $2$ เมตร กับ $50$ เซนติเมตร ให้แปลงก่อน:

$$2 \text{ m} = 200 \text{ cm}$$

ดังนั้นอัตราส่วนคือ

$$200:50 = 4:1$$

วิธีการย่ออัตราส่วน

การย่ออัตราส่วนทำได้โดยหารทั้งสองจำนวนด้วยตัวประกอบร่วมเดียวกัน วิธีนี้คล้ายกับการย่อเศษส่วน แต่ยังคงเขียนในรูปอัตราส่วน

ตัวอย่างเช่น:

$$12:8 = 3:2$$

เพราะทั้งสองจำนวนหารด้วย $4$ ลงตัว:

$$12 \div 4 = 3, \qquad 8 \div 4 = 2$$

อัตราส่วนที่ย่อแล้วจะยังคงการเปรียบเทียบเดิมไว้ เพียงแค่อ่านง่ายขึ้น แต่ไม่ได้เปลี่ยนความสัมพันธ์

ถ้าจำนวนทั้งสองไม่มีตัวประกอบร่วมที่มากกว่า $1$ อัตราส่วนนั้นก็อยู่ในรูปอย่างต่ำแล้ว

ตัวอย่างอัตราส่วน: การแก้โจทย์ปัญหา

สมมติว่าสีผสมชนิดหนึ่งใช้สีแดงและสีน้ำเงินในอัตราส่วน $2:3$ ถ้าคุณใช้สีแดง $10$ ถ้วย คุณต้องใช้สีน้ำเงินกี่ถ้วย?

อัตราส่วนนี้บอกว่ามีสีแดง $2$ ส่วน ต่อสีน้ำเงินทุก ๆ $3$ ส่วน

ถ้าสีแดงเพิ่มจาก $2$ ส่วน เป็น $10$ ถ้วย ตัวคูณสเกลคือ $5$ เพราะว่า

$$2 \times 5 = 10$$

ใช้ตัวคูณเดียวกันกับสีน้ำเงิน:

$$3 \times 5 = 15$$

ดังนั้นคุณต้องใช้สีน้ำเงิน $15$ ถ้วย

แนวคิดสำคัญคือ ทั้งสองส่วนต้องขยายด้วยตัวคูณเดียวกัน นั่นคือสิ่งที่ทำให้อัตราส่วน $2:3$ คงเดิม

โจทย์ปัญหาอัตราส่วนมักทำงานอย่างไร

โจทย์ปัญหาอัตราส่วนส่วนใหญ่มักให้คุณทำอย่างใดอย่างหนึ่งในสามอย่างนี้:

• ย่อการเปรียบเทียบ
• ขยายหรือย่อการเปรียบเทียบ
• หาปริมาณที่หายไปหนึ่งค่าเมื่อทราบอัตราส่วน

ในทุกกรณี หลักคิดเหมือนกันคือ รักษาลำดับให้คงที่ และรักษาการเปรียบเทียบให้สอดคล้องกัน

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยอย่างหนึ่งคือการสับสนระหว่างการเปรียบเทียบส่วนต่อส่วนกับส่วนต่อทั้งหมด ถ้า ชาย:หญิง = $2:3$ จำนวนส่วนทั้งหมดคือ $5$ ดังนั้นนักเรียนชายคิดเป็น $\frac{2}{5}$ ของทั้งห้อง ไม่ใช่ $\frac{2}{3}$

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเกี่ยวกับอัตราส่วน

สลับลำดับ

ถ้าโจทย์ถาม แมว:สุนัข แต่คุณเขียน สุนัข:แมว แม้ตัวเลขจะถูกต้อง แต่อัตราส่วนก็ยังผิดอยู่ดี

ลืมทำให้หน่วยตรงกัน

การเปรียบเทียบ $1$ ชั่วโมง กับ $30$ นาที เป็น $1:30$ นั้นไม่ถูกต้อง เพราะหน่วยต่างกัน ต้องแปลงก่อน:

$$1 \text{ hour} = 60 \text{ minutes}$$

ดังนั้นอัตราส่วนคือ

$$60:30 = 2:1$$

มองอัตราส่วนเหมือนผลต่าง

$5:2$ ไม่ได้หมายความว่าปริมาณแรก "มากกว่า $3$" เสมอในความหมายที่โจทย์ต้องการ อัตราส่วนคือการเปรียบเทียบเชิงการคูณ ไม่ใช่แค่ผลต่าง

ย่อเพียงด้านเดียว

ถ้าคุณเปลี่ยนด้านหนึ่งของอัตราส่วน คุณต้องเปลี่ยนอีกด้านด้วยตัวคูณเดียวกัน ไม่เช่นนั้นการเปรียบเทียบจะเปลี่ยนไป

อัตราส่วนถูกใช้เมื่อใด

อัตราส่วนพบได้ในสูตรอาหาร แผนที่ แบบวาดตามสัดส่วน ส่วนผสม การเปรียบเทียบในห้องเรียน และโจทย์พีชคณิตจำนวนมากที่เกี่ยวกับความสัมพันธ์สมมูล

อัตราส่วนมีประโยชน์เป็นพิเศษเมื่อคำถามที่แท้จริงคือ "เทียบกันแล้วมากน้อยแค่ไหน?" มากกว่า "มีทั้งหมดเท่าไร?"

ลองทำโจทย์อัตราส่วนที่คล้ายกัน

ของว่างผสมชนิดหนึ่งใช้อัตราส่วน ถั่ว ต่อ ลูกเกด เป็น $4:1$ ถ้าคุณมีถั่ว $20$ ถ้วย ต้องใช้ลูกเกดกี่ถ้วยจึงจะได้ส่วนผสมเดิม?

จากนั้นเขียนอัตราส่วนของลูกเกดต่อถั่ว และตรวจดูว่าคุณสลับลำดับได้ถูกต้องหรือไม่ ถ้าต้องการลองเพิ่มอีกขั้น ให้เปลี่ยนจำนวนถั่วเป็น $12$ ถ้วย แล้วแก้อีกครั้งโดยไม่ย้อนกลับไปดูตัวอย่าง