สมการเชิงเส้น

สมการเชิงเส้นคือสมการที่ตัวแปรอยู่ในกำลัง $1$ และไม่คูณกันเอง ถ้าเป็นหนึ่งตัวแปร รูปที่พบบ่อยคือ $ax + b = c$ โดยมีเงื่อนไขว่า $a \ne 0$ ถ้าเป็นสองตัวแปร มักเขียนได้เป็น $Ax + By = C$ โดย $A$ และ $B$ ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน และกราฟจะเป็นเส้นตรง

เวลาค้นหาคำว่า "สมการเชิงเส้น" คนส่วนใหญ่มักต้องการสองอย่าง คือรู้ว่ามันหน้าตาแบบไหน และรู้ว่าเริ่มแก้อย่างไร บทความนี้จึงเน้นนิยามให้ชัดก่อน แล้วตามด้วยตัวอย่างทำทีละขั้น จุดที่มักพลาด และกรณีที่สมการเชิงเส้นถูกใช้จริง

สมการเชิงเส้นดูออกอย่างไร

ให้เช็กสองอย่างพร้อมกัน คือ ตัวแปรต้องอยู่ในกำลัง $1$ และตัวแปรต้องไม่คูณกันเอง ถ้าเงื่อนไขใดเงื่อนไขหนึ่งไม่ผ่าน สมการนั้นไม่ใช่สมการเชิงเส้น

ตัวอย่างที่เป็นสมการเชิงเส้น:

• $3x - 5 = 10$
• $2x + 3y = 7$
• $y = -4x + 1$

ตัวอย่างที่ไม่ใช่สมการเชิงเส้น:

• $x^2 - 1 = 0$
• $xy = 6$
• $y = \frac{1}{x}$

เหตุผลคือรูปเหล่านี้มีตัวแปรยกกำลังมากกว่า $1$ คูณกันเอง หรืออยู่ในส่วนของตัวส่วน จึงไม่ใช่ความสัมพันธ์เชิงเส้น

แนวคิดของการแก้สมการเชิงเส้น

ในโจทย์หนึ่งตัวแปร เราแก้สมการเชิงเส้นด้วยการรักษาสมดุลของสองข้าง ถ้าบวก ลบ คูณ หรือหารด้านหนึ่งอย่างไร อีกด้านต้องทำแบบเดียวกัน จึงจะยังเป็นสมการเดิมในรูปที่สมมูลกัน

ในโจทย์สองตัวแปร จุดสำคัญคือ "อัตราการเปลี่ยนแปลงคงที่" เช่นใน $y = 2x + 1$ ถ้า $x$ เพิ่มขึ้น $1$ ค่า $y$ จะเพิ่มขึ้น $2$ ทุกครั้ง ภายใต้เงื่อนไขที่สมการอยู่ในรูปเชิงเส้น ความคงที่นี้เองที่ทำให้กราฟเป็นเส้นตรง ไม่โค้ง

ตัวอย่างสมการเชิงเส้นแบบทำทีละขั้น

แก้สมการ

$$4x + 5 = 17$$

ลบ $5$ ทั้งสองข้างก่อน:

$$4x = 12$$

จากนั้นหารทั้งสองข้างด้วย $4$:

$$x = 3$$

ตรวจคำตอบโดยแทนกลับ:

$$4(3) + 5 = 12 + 5 = 17$$

สมการเดิมเป็นจริง จึงได้คำตอบว่า $x = 3$

ตัวอย่างนี้แสดงแกนหลักของการแก้สมการเชิงเส้นหนึ่งตัวแปร คือค่อย ๆ ย้อนการกระทำเพื่อแยกตัวแปรออกมา ถ้ามีวงเล็บหรือเศษส่วน ขั้นตอนจะยาวขึ้น แต่หลักคิดเรื่องสมดุลของสองข้างยังเหมือนเดิม

ทำไมสมการเชิงเส้นสองตัวแปรจึงเป็นเส้นตรง

ลองดูสมการ

$$y = 2x + 1$$

ถ้า $x = 0$ จะได้ $y = 1$ ถ้า $x = 1$ จะได้ $y = 3$ และถ้า $x = 2$ จะได้ $y = 5$ จะเห็นว่าทุกครั้งที่ $x$ เพิ่มขึ้น $1$ ค่า $y$ เพิ่มขึ้น $2$ เท่าเดิมเสมอ

เมื่อการเปลี่ยนแปลงคงที่แบบนี้ จุดที่ได้จึงเรียงตัวเป็นเส้นตรง ถ้าอัตราการเปลี่ยนไม่คงที่ เช่น $y = x^2$ กราฟจะไม่เป็นเส้นตรง นี่เป็นเหตุผลที่คำว่า "เชิงเส้น" เชื่อมโยงกับเส้นตรงโดยตรง

จุดที่มักพลาดเวลาเรียนสมการเชิงเส้น

คิดว่ามีตัวแปรแล้วต้องเป็นเชิงเส้นเสมอ

ไม่จริง สมการอย่าง $x^2 = 9$ ก็มีตัวแปร แต่ไม่ใช่สมการเชิงเส้น เพราะกำลังของตัวแปรไม่ใช่ $1$

ย้ายข้างไม่สมมูล

เวลาแก้สมการ ต้องทำกับทั้งสองข้างเท่ากันเสมอ คำว่า "ย้ายข้าง" เป็นแค่ภาษาพูดที่ย่อจากการบวกหรือลบจำนวนเดียวกันทั้งสองข้าง ถ้าลบ $5$ ด้านซ้าย แต่ไม่ลบด้านขวา สมการจะเสียสมดุลทันที

หารโดยไม่เช็กเงื่อนไข

ในรูป $ax + b = c$ การหารด้วย $a$ ใช้ได้เมื่อ $a \ne 0$ ถ้า $a = 0$ สมการจะไม่อยู่ในรูปสมการเชิงเส้นหนึ่งตัวแปรตามปกติแล้ว

สมการเชิงเส้นใช้เมื่อไร

สมการเชิงเส้นใช้บ่อยมากเมื่อปริมาณเปลี่ยนด้วยอัตราคงที่ เช่น

• ค่าโดยสารที่มีค่าตั้งต้นบวกค่าบริการต่อระยะทาง
• เงินเดือนรายชั่วโมงที่คิดตามจำนวนชั่วโมงทำงาน
• ความสัมพันธ์ง่าย ๆ ในกราฟที่เพิ่มหรือลดอย่างสม่ำเสมอ

จึงเป็นหัวข้อพื้นฐานของพีชคณิต การเขียนกราฟ และการสร้างแบบจำลองอย่างง่ายในวิทยาศาสตร์หรือชีวิตประจำวัน

สรุปสมการเชิงเส้นให้จำได้เร็ว

ถ้าจะจำสั้นที่สุด ให้จำว่าสมการเชิงเส้นคือสมการที่ตัวแปรอยู่ในกำลัง $1$ และไม่คูณกันเอง ถ้าเป็นสองตัวแปร กราฟจะเป็นเส้นตรงเพราะอัตราการเปลี่ยนแปลงคงที่

เวลาเจอโจทย์หนึ่งตัวแปร ให้คิดเรื่องการรักษาสมดุลของสองข้าง เวลาเจอโจทย์สองตัวแปร ให้คิดเรื่องเส้นตรงและการเปลี่ยนแปลงที่คงที่

ลองทำต่อเอง

ลองแก้

$$5x - 8 = 22$$

แล้วตรวจคำตอบด้วยการแทนกลับ จากนั้นลองดูสมการ

$$y = -3x + 4$$

และอธิบายด้วยคำพูดของตัวเองว่าเมื่อ $x$ เพิ่มขึ้น $1$ ค่า $y$ เปลี่ยนอย่างไร ถ้าคุณเริ่มคล่องแล้ว ลองแก้โจทย์ที่มีวงเล็บหรือเศษส่วนต่ออีกข้อ เพื่อดูว่าหลักสมดุลเดิมยังใช้ได้เหมือนเดิม