Teorema Lingkaran — Sudut, Garis Singgung & Tali Busur

Teorema lingkaran adalah aturan untuk mencari sudut pada diagram yang melibatkan tali busur, garis singgung, jari-jari, dan segiempat siklik. Jika Anda mencocokkan teorema dengan kondisi yang tepat, diagram lingkaran yang tampak rumit biasanya berubah menjadi satu atau dua persamaan sudut sederhana.

Kondisinya selalu penting. Anda hanya bisa memakai teorema lingkaran jika diagram benar-benar memiliki susunan yang dibutuhkan, seperti sudut-sudut yang bertumpu pada tali busur yang sama, garis singgung sejati yang menyentuh di satu titik, atau empat titik sudut yang semuanya terletak pada lingkaran.

Teorema Lingkaran yang Paling Sering Dibutuhkan

Ini adalah teorema lingkaran yang paling sering digunakan siswa dalam soal kejar-sudut.

Sudut pusat dua kali sudut keliling

Jika sudut pusat dan sudut keliling bertumpu pada busur yang sama, maka sudut pusat besarnya dua kali sudut keliling.

Jika sudut pusat adalah $\theta$, maka sudut keliling pada busur yang sama adalah

$$\frac{\theta}{2}$$

Ini membantu Anda berpindah cepat antara sudut besar di pusat dan sudut yang lebih kecil pada lingkaran.

Sudut-sudut pada segmen yang sama besarnya sama

Jika dua sudut keliling bertumpu pada tali busur yang sama dan berada pada segmen yang sama, maka keduanya sama besar.

Ini berguna ketika dua titik pada lingkaran sama-sama "melihat" tali busur yang sama. Jika keduanya menghadap tali busur yang sama dari segmen yang sama, maka sudutnya sama.

Sudut dalam setengah lingkaran adalah $90^\circ$

Jika sebuah segitiga digambar dengan salah satu sisinya sebagai diameter, maka sudut pada titik di keliling lingkaran adalah sudut siku-siku.

Ini adalah kasus khusus dari teorema sudut pusat, karena sudut pusat yang menghadap diameter adalah $180^\circ$, dan setengahnya adalah $90^\circ$.

Sudut-sudut berhadapan pada segiempat siklik berjumlah $180^\circ$

Segiempat siklik adalah segiempat yang keempat titik sudutnya terletak pada lingkaran yang sama.

Jika sudut $A$ dan $C$ adalah sudut berhadapan pada segiempat siklik, maka

$$A + C = 180^\circ$$

Hal yang sama juga berlaku untuk pasangan sudut berhadapan lainnya.

Jari-jari dan garis singgung berpotongan membentuk $90^\circ$

Jika sebuah garis menyinggung lingkaran, garis itu menyentuh lingkaran tepat di satu titik. Jari-jari yang ditarik ke titik itu tegak lurus terhadap garis singgung.

Jadi jika $OA$ adalah jari-jari dan garis di $A$ adalah garis singgung, maka sudut di antara keduanya adalah

$$90^\circ$$

Sudut antara garis singgung dan tali busur sama dengan sudut pada segmen berseberangan

Ini sering disebut teorema garis singgung-tali busur.

Jika sebuah garis singgung menyentuh lingkaran di salah satu ujung tali busur, maka sudut antara garis singgung dan tali busur sama dengan sudut keliling yang bertumpu pada tali busur itu di segmen berseberangan.

Ini adalah jalan pintas yang kuat karena mengubah sudut garis di luar lingkaran menjadi sudut yang sudah dikenal di dalam lingkaran.

Contoh Dikerjakan: Mencari Dua Sudut dari Satu Sudut Pusat

Misalkan $O$ adalah pusat sebuah lingkaran dan tali busur $AB$ menghadap sudut pusat $\angle AOB = 110^\circ$. Titik $C$ terletak pada keliling lingkaran di busur yang berseberangan dengan tali busur $AB$, dan sebuah garis singgung menyentuh lingkaran di $A$.

Tentukan:

1. sudut keliling $\angle ACB$
2. sudut antara garis singgung di $A$ dan tali busur $AB$

Mulailah dengan teorema sudut pusat. Sudut keliling yang bertumpu pada tali busur $AB$ adalah setengah dari sudut pusat yang bertumpu pada tali busur $AB$, jadi

$$\angle ACB = \frac{110^\circ}{2} = 55^\circ$$

Sekarang gunakan teorema garis singgung-tali busur. Sudut antara garis singgung di $A$ dan tali busur $AB$ sama dengan sudut pada segmen berseberangan yang bertumpu pada tali busur $AB$. Sudut itu adalah $\angle ACB$, jadi sudut garis singgung-tali busur juga

$$55^\circ$$

Langkah kuncinya bukan perhitungannya. Yang penting adalah menyadari bahwa kedua sudut yang belum diketahui berasal dari tali busur yang sama, yaitu $AB$.

Cara Memilih Teorema Lingkaran yang Tepat

Ajukan pertanyaan-pertanyaan ini secara berurutan:

1. Apakah ada sudut pusat yang ditandai dan sudut yang sesuai pada lingkaran?
2. Apakah salah satu sisinya merupakan diameter?
3. Apakah ada garis singgung yang menyentuh lingkaran di satu titik?
4. Apakah keempat titik sudut segiempat berada pada lingkaran?
5. Apakah dua sudut bertumpu pada tali busur yang sama?

Daftar periksa singkat itu biasanya memberi tahu Anda teorema mana yang sesuai untuk diagram tersebut.

Kesalahan Umum pada Teorema Lingkaran

Salah satu kesalahan umum adalah memakai aturan "dua kali" untuk sudut-sudut yang tidak bertumpu pada busur yang sama. Sudut pusat dan sudut keliling harus berasal dari busur yang sama.

Kesalahan lain adalah menyebut sebuah garis sebagai garis singgung hanya karena terlihat seperti menyentuh lingkaran. Dalam pembuktian atau soal ujian, kondisi garis singgung harus dinyatakan atau dibuktikan.

Siswa juga sering tertukar antara "sudut-sudut pada segmen yang sama besarnya sama" dan "sudut-sudut berhadapan pada segiempat siklik berjumlah $180^\circ$." Satu teorema menyatakan kesamaan. Yang lain menyatakan pasangan sudut suplementer.

Kesalahan terakhir adalah menganggap setiap bangun bersisi empat yang dekat dengan lingkaran pasti siklik. Untuk teorema segiempat siklik, keempat titik sudut harus terletak pada lingkaran.

Kapan Teorema Lingkaran Digunakan

Teorema lingkaran muncul dalam geometri sekolah, pembuktian kejar-sudut, susunan geometri koordinat, dan soal ujian ketika sebuah diagram memberi lebih banyak informasi daripada yang tampak pada awalnya.

Teorema ini sangat berguna ketika Anda perlu membuktikan hubungan antar garis, mencari sudut yang hilang dengan cepat, atau menghubungkan sudut garis singgung di luar lingkaran dengan sudut di dalam lingkaran.

Coba Versi Anda Sendiri

Gambarlah sebuah lingkaran dengan pusat $O$ dan tali busur $PQ$. Misalkan $\angle POQ = 84^\circ$. Letakkan titik $R$ pada keliling lingkaran di busur yang berseberangan dengan tali busur $PQ$, lalu gambar garis singgung di $P$.

Tentukan $\angle PRQ$, lalu tentukan sudut antara garis singgung di $P$ dan tali busur $PQ$.

Jika Anda ingin memeriksa susunannya langkah demi langkah, coba selesaikan soal serupa di GPAI Solver dan lihat apakah Anda sudah mencocokkan setiap teorema dengan kondisi yang tepat.