สมการวงกลม

สมการวงกลมบอกว่าจุดใดบ้างที่อยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางจุดหนึ่งเป็นระยะคงที่ ถ้าวงกลมมีจุดศูนย์กลาง $(h, k)$ และรัศมี $r$ สมการมาตรฐานของมันคือ

$$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$$

สมการนี้ใช้ได้เพราะทุกจุด $(x, y)$ บนวงกลมอยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางเท่ากับ $r$ หน่วยพอดี ถ้าจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด สมการจะกลายเป็น

$$x^2 + y^2 = r^2$$

นี่เป็นวิธีที่เร็วที่สุดในการสังเกตวงกลมในเรขาคณิตพิกัด

สมการนี้หมายความว่าอะไร

พจน์ $x - h$ ใช้วัดระยะในแนวนอนจากจุดศูนย์กลาง และ $y - k$ ใช้วัดระยะในแนวตั้งจากจุดศูนย์กลาง เมื่อนำระยะเหล่านี้ยกกำลังสองแล้วบวกกัน จะสอดคล้องกับสูตรระยะทาง:

$$\text{distance}^2 = (x - h)^2 + (y - k)^2$$

สำหรับจุดที่อยู่บนวงกลม ระยะทางยกกำลังสองนี้ต้องเท่ากับ $r^2$ ดังนั้นสมการนี้จึงเป็นวิธีเขียนแบบย่อเพื่อบอกว่า “ทุกจุดบนกราฟนี้อยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางเท่ากัน”

มองภาพให้ง่าย

ลองคิดว่าจุดศูนย์กลางเป็นจุดยึด วงกลมคือเซตของจุดทั้งหมดที่อยู่ห่างจากจุดยึดนั้นเท่ากับหนึ่งรัศมีพอดี สมการนี้ไม่ได้อธิบายแค่จุดเดียว แต่บอกถึงเส้นขอบทั้งหมดที่เกิดจากจุดเหล่านั้น

นี่จึงเป็นเหตุผลว่าทำไมรัศมีจึงสำคัญมาก ถ้าคุณเปลี่ยนค่า $r$ จุดศูนย์กลางจะยังเหมือนเดิม แต่วงกลมจะใหญ่ขึ้นหรือเล็กลง

ตัวอย่างแบบทำให้ดู

จงเขียนสมการของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง $(3, -2)$ และรัศมี $5$

เริ่มจากรูปมาตรฐาน:

$$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$$

แทนค่า $h = 3$, $k = -2$ และ $r = 5$:

$$(x - 3)^2 + (y - (-2))^2 = 5^2$$

จัดรูปให้ง่ายขึ้น:

$$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$$

นี่คือสมการของวงกลม

คุณสามารถตรวจสอบคร่าว ๆ ได้ด้วยจุดที่ควรอยู่บนวงกลม จุด $(8, -2)$ อยู่ทางขวาของจุดศูนย์กลาง $5$ หน่วย ดังนั้นมันควรใช้ได้:

$$(8 - 3)^2 + (-2 + 2)^2 = 5^2 + 0 = 25$$

ผลลัพธ์ถูกต้อง ดังนั้นสมการนี้จึงสอดคล้องกับจุดศูนย์กลางและรัศมีที่กำหนด

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

1. อ่านจุดศูนย์กลางจากเครื่องหมายตรง ๆ ใน $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$ จุดศูนย์กลางคือ $(3, -2)$ ไม่ใช่ $(3, 2)$
2. ลืมยกกำลังสองของรัศมี ถ้ารัศมีเป็น $5$ ด้านขวาต้องเป็น $25$ ไม่ใช่ $5$
3. ใช้เส้นผ่านศูนย์กลางแทนรัศมี ถ้าโจทย์ให้เส้นผ่านศูนย์กลางมา ต้องหาร $2$ ก่อน
4. คาดว่าจะได้วงกลมจริงเมื่อ $r^2$ เป็นลบ สมการอย่าง $(x - 1)^2 + (y + 4)^2 = -9$ ไม่มีจุดจริงใด ๆ

กรณีพิเศษที่ควรรู้

ถ้า $r > 0$ สมการนี้จะแทนวงกลมจริง

ถ้า $r = 0$ สมการนี้จะแทนเพียงจุดเดียว คือจุดศูนย์กลางนั่นเอง

ถ้า $r^2 < 0$ จะไม่มีวงกลมจริง เพราะระยะทางยกกำลังสองไม่สามารถเป็นค่าติดลบได้

แนวคิดนี้ใช้เมื่อไร

สมการวงกลมพบได้ในเรขาคณิตพิกัด เรขาคณิตวิเคราะห์ และพรีแคลคูลัส ใช้สำหรับวาดกราฟวงกลม ตรวจสอบว่าจุดหนึ่งอยู่บนวงกลมหรือไม่ สร้างแบบจำลองระยะจากตำแหน่งคงที่ และจัดรูปสมการที่ซับซ้อนกว่าให้กลายเป็นรูปวงกลมที่สังเกตได้ง่าย

แนวคิดนี้ยังเชื่อมโยงโดยตรงกับสูตรระยะทางและการทำกำลังสองสมบูรณ์ ซึ่งมักเป็นวิธีที่ใช้แปลงสมการยาว ๆ ให้เป็นรูปมาตรฐานของวงกลม

วิธีเช็กในใจแบบง่าย ๆ

เมื่อคุณเห็น $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ ให้ถามตัวเองเร็ว ๆ สองข้อ:

1. เครื่องหมายเหล่านี้บอกว่าจุดศูนย์กลางคืออะไร?
2. ด้านขวาเป็นรัศมียกกำลังสองจริงหรือไม่?

การเช็กสองข้อนี้ช่วยจับข้อผิดพลาดได้เกือบทั้งหมด

ลองทำด้วยตัวเอง

ลองเขียนสมการของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง $(-4, 1)$ และรัศมี $3$ จากนั้นตรวจสอบว่าจุด $(-1, 1)$ อยู่บนวงกลมหรือไม่ ถ้าอยากลองต่ออีกขั้น ให้เริ่มจากสมการที่ยาวกว่าแล้วจัดรูปใหม่ให้อยู่ในรูปมาตรฐานของวงกลม