พื้นที่วงกลม — สูตร การพิสูจน์ และตัวอย่าง

การหาพื้นที่วงกลม ให้ยกกำลังสองของรัศมีแล้วคูณด้วย $\pi$:

$$A = \pi r^2$$

สูตรนี้ใช้รัศมี ไม่ใช่เส้นผ่านศูนย์กลาง ถ้าโจทย์ให้เส้นผ่านศูนย์กลาง $d$ มา ให้แปลงก่อนโดยใช้ $r = d/2$ ความสัมพันธ์เดียวกันนี้เขียนได้เป็น

$$A = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$$

ถ้าโจทย์ต้องการคำตอบแบบตรงตัว ให้คงคำตอบไว้ในรูปของ $\pi$ ถ้าต้องการคำตอบเป็นทศนิยม ให้ใช้ค่าประมาณ เช่น $\pi \approx 3.14$

สูตรพื้นที่วงกลม: หมายความว่าอย่างไร

$r^2$ บอกให้รู้ว่าพื้นที่เพิ่มขึ้นตามกำลังสองของรัศมี ถ้ารัศมีเพิ่มเป็น 2 เท่า พื้นที่จะเพิ่มเป็น 4 เท่า ไม่ใช่ 2 เท่า

นี่คือแนวคิดสำคัญที่ควรจำไว้ พื้นที่วงกลมเปลี่ยนแปลงเร็ว เพราะรัศมีถูกยกกำลังสอง

ทำไมพื้นที่วงกลมจึงเป็น $A = \pi r^2$

วิธีอธิบายที่พบบ่อยวิธีหนึ่งคือ แบ่งวงกลมออกเป็นชิ้นส่วนแคบ ๆ หลายชิ้น แล้วสลับเรียงใหม่คนละทิศทาง เมื่อชิ้นส่วนบางลง รูปร่างที่จัดเรียงใหม่จะยิ่งใกล้เคียงกับรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

ในภาพนี้ ความสูงของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าประมาณ $r$ และฐานยาวประมาณครึ่งหนึ่งของเส้นรอบวงของวงกลม:

$$\frac{1}{2}(2\pi r) = \pi r$$

ดังนั้นพื้นที่จึงเข้าใกล้ค่า

$$A = (\pi r)(r) = \pi r^2$$

วิธีนี้ช่วยให้เข้าใจที่มาของสูตรได้ชัดเจน โดยไม่ต้องใช้เรขาคณิตขั้นสูง ยิ่งจินตนาการว่ามีชิ้นส่วนมากขึ้นเท่าไร รูปร่างที่จัดเรียงใหม่ก็ยิ่งใกล้กับรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าจริงมากขึ้นเท่านั้น

ตัวอย่างพื้นที่วงกลมเมื่อรัศมี $6$ ซม.

สมมติว่าวงกลมมีรัศมี $6$ ซม. เริ่มจากสูตร:

$$A = \pi r^2 = \pi(6)^2 = 36\pi$$

ดังนั้นพื้นที่แบบตรงตัวคือ $36\pi\ \text{cm}^2$

ถ้าต้องการค่าประมาณเป็นทศนิยม จะได้ว่า

$$A \approx 36(3.14) = 113.04\ \text{cm}^2$$

ใช้รูปแบบตรงตัวเมื่อโจทย์ระบุว่า "ตอบในรูปของ $\pi$" ใช้รูปแบบทศนิยมเฉพาะเมื่อโจทย์ขอค่าประมาณ

วิธีหาพื้นที่วงกลมจากเส้นผ่านศูนย์กลาง

ถ้าเส้นผ่านศูนย์กลางยาว $12$ ซม. ให้แปลงเป็นรัศมีก่อน:

$$r = \frac{12}{2} = 6$$

จากนั้นใช้สูตรปกติ:

$$A = \pi(6)^2 = 36\pi\ \text{cm}^2$$

จุดนี้เป็นจุดที่มักผิดกันบ่อย ถ้านำ $12$ ไปแทนใน $A = \pi r^2$ โดยตรง จะได้ $144\pi$ แทนที่จะเป็น $36\pi$ ซึ่งมากเกินไปถึง 4 เท่า

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในการหาพื้นที่วงกลม

1. ใช้เส้นผ่านศูนย์กลางแทนรัศมีโดยตรง
2. ลืมยกกำลังสองของรัศมี
3. เขียนคำตอบเป็นหน่วยธรรมดาแทนหน่วยกำลังสอง
4. ปัดเศษเร็วเกินไป ทั้งที่โจทย์ต้องการคำตอบแบบตรงตัวในรูปของ $\pi$
5. สับสนระหว่างพื้นที่กับเส้นรอบวง พื้นที่คือบริเวณด้านใน ส่วนเส้นรอบวงคือความยาวรอบขอบ

พื้นที่วงกลมใช้เมื่อใด

ใช้พื้นที่วงกลมเมื่อคุณต้องการหาขนาดของบริเวณวงกลมบนพื้นผิวราบ ตัวอย่างที่พบบ่อย ได้แก่ พิซซ่า หน้าโต๊ะกลม แปลงดอกไม้ทรงกลม หรือหน้าตัดของท่อ

ถ้าคำถามถามถึงวัสดุที่ใช้ปิดพื้นผิวกลม ปริมาณสีที่ต้องใช้ทาบนหน้ากลม หรือพื้นที่ภายในขอบเขตทรงกลม แนวคิดเรื่องพื้นที่มักเป็นสิ่งที่ควรใช้

เช็กเร็ว ๆ ก่อนส่งคำตอบ

ลองถามตัวเองว่าขนาดของคำตอบสมเหตุสมผลหรือไม่ วงกลมที่มีรัศมี $10$ ควรมีพื้นที่มากกว่าวงกลมที่มีรัศมี $5$ อย่างมาก เพราะเมื่อรัศมีเพิ่มเป็น 2 เท่า พื้นที่จะเพิ่มเป็น $4$ เท่า

การตรวจสอบสั้น ๆ แบบนี้ช่วยจับความผิดพลาดเรื่องรัศมีกับเส้นผ่านศูนย์กลางได้บ่อยมาก

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

ลองทำด้วยตัวเองเมื่อเส้นผ่านศูนย์กลางเป็น $18$ ซม. แปลงเป็นรัศมีก่อน จากนั้นหาพื้นที่แบบตรงตัว แล้วค่อยหาค่าประมาณเป็นทศนิยมถ้าจำเป็น ถ้าคุณอยากลองโจทย์คล้ายกัน ให้เปรียบเทียบพื้นที่เมื่อรัศมีเปลี่ยนจาก $4$ ซม. เป็น $8$ ซม. แล้วตรวจดูว่าทำไมพื้นที่จึงเปลี่ยนเป็น $4$ เท่า ไม่ใช่ $2$ เท่า