Théorèmes du cercle — angles, tangentes et cordes

Les théorèmes du cercle sont des règles qui permettent de trouver des angles dans des figures avec des cordes, des tangentes, des rayons et des quadrilatères inscrits. Si vous associez le bon théorème à la bonne condition, une figure de cercle compliquée se transforme souvent en une ou deux équations d’angles simples.

La condition est essentielle à chaque fois. Vous ne pouvez utiliser un théorème du cercle que si la figure présente bien la configuration nécessaire, par exemple des angles qui interceptent la même corde, une vraie tangente qui touche le cercle en un seul point, ou quatre sommets situés sur le cercle.

Les théorèmes du cercle les plus utiles

Voici les théorèmes du cercle que les élèves utilisent le plus souvent dans les exercices de chasse aux angles.

L’angle au centre vaut le double de l’angle inscrit

Si un angle au centre et un angle inscrit interceptent le même arc, alors l’angle au centre vaut le double de l’angle inscrit.

Si l’angle au centre vaut $\theta$, alors l’angle inscrit interceptant le même arc est

$$\frac{\theta}{2}$$

Cela permet de passer rapidement d’un grand angle au centre à un angle plus petit sur le cercle.

Les angles dans le même segment sont égaux

Si deux angles inscrits interceptent la même corde et se trouvent dans le même segment, alors ils sont égaux.

C’est utile lorsque deux points du cercle « voient » la même corde. S’ils interceptent la même corde depuis le même segment, alors les angles sont égaux.

L’angle inscrit dans un demi-cercle vaut $90^\circ$

Si un triangle est tracé avec un côté comme diamètre, alors l’angle au point situé sur le cercle est un angle droit.

C’est un cas particulier du théorème de l’angle au centre, car l’angle au centre qui intercepte un diamètre vaut $180^\circ$, et sa moitié vaut $90^\circ$.

Les angles opposés d’un quadrilatère inscrit ont une somme de $180^\circ$

Un quadrilatère inscrit est un quadrilatère dont les quatre sommets sont situés sur le même cercle.

Si les angles $A$ et $C$ sont des angles opposés d’un quadrilatère inscrit, alors

$$A + C = 180^\circ$$

La même propriété vaut pour l’autre paire d’angles opposés.

Un rayon et une tangente se coupent à $90^\circ$

Si une droite est tangente à un cercle, elle touche le cercle en exactement un point. Le rayon tracé jusqu’à ce point est perpendiculaire à la tangente.

Donc si $OA$ est un rayon et que la droite en $A$ est tangente, alors l’angle entre eux vaut

$$90^\circ$$

L’angle entre une tangente et une corde est égal à l’angle dans le segment opposé

On appelle souvent cela le théorème tangente-corde.

Si une tangente touche le cercle à une extrémité d’une corde, alors l’angle entre la tangente et la corde est égal à l’angle inscrit qui intercepte cette corde dans le segment opposé.

C’est un raccourci très puissant, car il transforme un angle formé par une droite à l’extérieur du cercle en un angle familier à l’intérieur du cercle.

Exemple résolu : trouver deux angles à partir d’un angle au centre

Supposons que $O$ soit le centre d’un cercle et que la corde $AB$ intercepte un angle au centre $\angle AOB = 110^\circ$. Le point $C$ se trouve sur le cercle sur l’arc opposé à la corde $AB$, et une tangente touche le cercle en $A$.

Déterminez :

1. l’angle inscrit $\angle ACB$
2. l’angle entre la tangente en $A$ et la corde $AB$

Commencez par le théorème de l’angle au centre. L’angle inscrit qui intercepte la corde $AB$ vaut la moitié de l’angle au centre qui intercepte la corde $AB$, donc

$$\angle ACB = \frac{110^\circ}{2} = 55^\circ$$

Utilisez maintenant le théorème tangente-corde. L’angle entre la tangente en $A$ et la corde $AB$ est égal à l’angle dans le segment opposé qui intercepte la corde $AB$. Cet angle est $\angle ACB$, donc l’angle tangente-corde vaut aussi

$$55^\circ$$

L’idée essentielle n’est pas le calcul. C’est de remarquer que les deux angles inconnus proviennent de la même corde $AB$.

Comment choisir le bon théorème du cercle

Posez-vous ces questions dans l’ordre :

1. Y a-t-il un angle au centre indiqué et un angle correspondant sur le cercle ?
2. L’un des côtés est-il un diamètre ?
3. Y a-t-il une tangente qui touche le cercle en un seul point ?
4. Les quatre sommets du quadrilatère sont-ils sur le cercle ?
5. Deux angles interceptent-ils la même corde ?

Cette petite liste de vérification permet généralement de savoir quel théorème correspond à la figure.

Erreurs fréquentes avec les théorèmes du cercle

Une erreur fréquente consiste à utiliser la règle du « double » pour des angles qui n’interceptent pas le même arc. L’angle au centre et l’angle inscrit doivent provenir du même arc.

Une autre erreur consiste à appeler une droite tangente simplement parce qu’elle semble toucher le cercle. Dans une démonstration ou un exercice d’examen, la condition de tangence doit être donnée ou établie.

Les élèves confondent aussi « les angles dans le même segment sont égaux » avec « les angles opposés d’un quadrilatère inscrit ont une somme de $180^\circ$ ». Un théorème donne une égalité. L’autre donne une paire d’angles supplémentaires.

Une dernière erreur consiste à supposer que toute figure à quatre côtés proche d’un cercle est inscrite. Pour le théorème du quadrilatère inscrit, les quatre sommets doivent être sur le cercle.

Quand utilise-t-on les théorèmes du cercle ?

Les théorèmes du cercle apparaissent en géométrie scolaire, dans les démonstrations de chasse aux angles, dans les configurations de géométrie analytique et dans les questions d’examen où une figure donne plus d’informations qu’il n’y paraît au premier regard.

Ils sont particulièrement utiles lorsqu’il faut prouver des relations entre des droites, trouver rapidement des angles manquants, ou relier un angle de tangente extérieur à un angle intérieur du cercle.

Essayez votre propre version

Tracez un cercle de centre $O$ et une corde $PQ$. Soit $\angle POQ = 84^\circ$. Placez un point $R$ sur le cercle sur l’arc opposé à la corde $PQ$, puis tracez une tangente en $P$.

Déterminez $\angle PRQ$, puis l’angle entre la tangente en $P$ et la corde $PQ$.

Si vous voulez vérifier votre configuration étape par étape, essayez de résoudre un problème similaire dans GPAI Solver et voyez si vous avez bien associé chaque théorème à la bonne condition.