Teoremas da Circunferência — Ângulos, Tangentes e Cordas

Os teoremas da circunferência são regras para encontrar ângulos em diagramas com cordas, tangentes, raios e quadriláteros cíclicos. Se você relacionar o teorema à condição correta, um diagrama confuso de circunferência geralmente vira uma ou duas equações simples de ângulos.

A condição importa sempre. Você só pode usar um teorema da circunferência quando o diagrama realmente tiver a configuração necessária, como ângulos apoiados na mesma corda, uma tangente de fato tocando em um único ponto, ou quatro vértices todos sobre a circunferência.

Teoremas da Circunferência Mais Importantes

Estes são os teoremas da circunferência que os estudantes mais usam em questões de perseguição de ângulos.

O ângulo no centro é o dobro do ângulo na circunferência

Se um ângulo central e um ângulo na circunferência subtendem o mesmo arco, então o ângulo central é o dobro do ângulo na circunferência.

Se o ângulo central é $\theta$, então o ângulo inscrito no mesmo arco é

$$\frac{\theta}{2}$$

Isso permite passar rapidamente de um ângulo grande no centro para um ângulo menor na circunferência.

Ângulos no mesmo segmento são iguais

Se dois ângulos na circunferência subtendem a mesma corda e estão no mesmo segmento, então eles são iguais.

Isso é útil quando dois pontos da circunferência “enxergam” a mesma corda. Se eles subtendem a mesma corda a partir do mesmo segmento, os ângulos coincidem.

O ângulo em uma semicircunferência é $90^\circ$

Se um triângulo é desenhado com um dos lados sendo um diâmetro, então o ângulo no ponto da circunferência é reto.

Este é um caso especial do teorema do ângulo no centro, porque o ângulo no centro sobre um diâmetro é $180^\circ$, e a metade disso é $90^\circ$.

Ângulos opostos em um quadrilátero cíclico somam $180^\circ$

Um quadrilátero cíclico é um quadrilátero cujos quatro vértices estão sobre a mesma circunferência.

Se os ângulos $A$ e $C$ são opostos em um quadrilátero cíclico, então

$$A + C = 180^\circ$$

O mesmo vale para o outro par de ângulos opostos.

Um raio e uma tangente se encontram a $90^\circ$

Se uma reta é tangente a uma circunferência, ela toca a circunferência em exatamente um ponto. O raio traçado até esse ponto é perpendicular à tangente.

Então, se $OA$ é um raio e a reta em $A$ é tangente, o ângulo entre eles é

$$90^\circ$$

O ângulo entre uma tangente e uma corda é igual ao ângulo no segmento oposto

Isso costuma ser chamado de teorema da tangente-corda.

Se uma tangente toca a circunferência em uma extremidade de uma corda, então o ângulo entre a tangente e a corda é igual ao ângulo na circunferência que subtende essa corda no segmento oposto.

Este é um atalho poderoso porque transforma um ângulo de reta fora da circunferência em um ângulo familiar dentro da circunferência.

Exemplo Resolvido: Encontre Dois Ângulos a Partir de Um Ângulo Central

Suponha que $O$ seja o centro de uma circunferência e que a corda $AB$ subtenda um ângulo central $\angle AOB = 110^\circ$. O ponto $C$ está sobre a circunferência no arco oposto à corda $AB$, e uma tangente toca a circunferência em $A$.

Encontre:

1. o ângulo na circunferência $\angle ACB$
2. o ângulo entre a tangente em $A$ e a corda $AB$

Comece com o teorema do ângulo no centro. O ângulo na circunferência que subtende a corda $AB$ é a metade do ângulo central que subtende a corda $AB$, então

$$\angle ACB = \frac{110^\circ}{2} = 55^\circ$$

Agora use o teorema da tangente-corda. O ângulo entre a tangente em $A$ e a corda $AB$ é igual ao ângulo no segmento oposto que subtende a corda $AB$. Esse ângulo é $\angle ACB$, então o ângulo tangente-corda também é

$$55^\circ$$

O passo principal não é a conta. É perceber que os dois ângulos desconhecidos vêm da mesma corda $AB$.

Como Escolher o Teorema da Circunferência Correto

Faça estas perguntas nesta ordem:

1. Há um ângulo central marcado e um ângulo correspondente na circunferência?
2. Um dos lados é um diâmetro?
3. Há uma tangente tocando a circunferência em um único ponto?
4. Os quatro vértices do quadrilátero estão sobre a circunferência?
5. Dois ângulos subtendem a mesma corda?

Essa lista rápida geralmente mostra qual teorema se aplica ao diagrama.

Erros Comuns com Teoremas da Circunferência

Um erro comum é usar a regra do “dobro” para ângulos que não subtendem o mesmo arco. O ângulo no centro e o ângulo na circunferência precisam vir do mesmo arco.

Outro erro é chamar uma reta de tangente só porque parece tocar a circunferência. Em uma demonstração ou questão de prova, a condição de tangência deve ser dada ou demonstrada.

Os estudantes também confundem “ângulos no mesmo segmento são iguais” com “ângulos opostos em um quadrilátero cíclico somam $180^\circ$”. Um teorema dá igualdade. O outro dá um par suplementar.

Um erro final é supor que qualquer figura de quatro lados perto de uma circunferência seja cíclica. Para o teorema do quadrilátero cíclico, os quatro vértices precisam estar sobre a circunferência.

Quando os Teoremas da Circunferência São Usados

Os teoremas da circunferência aparecem na geometria escolar, em demonstrações com perseguição de ângulos, em configurações de geometria analítica e em questões de prova nas quais um diagrama fornece mais informação do que parece à primeira vista.

Eles são especialmente úteis quando você precisa provar relações entre retas, encontrar ângulos faltantes rapidamente ou ligar um ângulo externo de tangente a um ângulo interno na circunferência.

Tente Sua Própria Versão

Desenhe uma circunferência com centro $O$ e corda $PQ$. Seja $\angle POQ = 84^\circ$. Coloque um ponto $R$ sobre a circunferência no arco oposto à corda $PQ$ e depois trace uma tangente em $P$.

Encontre $\angle PRQ$ e depois encontre o ângulo entre a tangente em $P$ e a corda $PQ$.

Se quiser conferir sua configuração passo a passo, tente resolver um problema parecido no GPAI Solver e veja se você associou cada teorema à condição correta.