Teoremi della circonferenza — angoli, tangenti e corde

I teoremi della circonferenza sono regole per trovare angoli in figure con corde, tangenti, raggi e quadrilateri ciclici. Se associ il teorema alla condizione giusta, una figura complicata con una circonferenza di solito si riduce a una o due semplici equazioni sugli angoli.

La condizione conta ogni volta. Puoi usare un teorema della circonferenza solo quando nella figura è davvero presente la configurazione richiesta, come angoli che insistono sulla stessa corda, una vera tangente che tocca in un solo punto, oppure quattro vertici tutti sulla circonferenza.

I teoremi della circonferenza più importanti

Questi sono i teoremi della circonferenza che gli studenti usano più spesso nei problemi di caccia agli angoli.

L'angolo al centro è il doppio dell'angolo alla circonferenza

Se un angolo al centro e un angolo alla circonferenza insistono sullo stesso arco, allora l'angolo al centro è il doppio dell'angolo alla circonferenza.

Se l'angolo al centro è $\theta$, allora l'angolo alla circonferenza che insiste sullo stesso arco è

$$\frac{\theta}{2}$$

Questo ti permette di passare rapidamente da un angolo grande al centro a un angolo più piccolo sulla circonferenza.

Gli angoli nello stesso segmento sono uguali

Se due angoli alla circonferenza insistono sulla stessa corda e si trovano nello stesso segmento, allora sono uguali.

Questo è utile quando due punti sulla circonferenza "vedono" entrambi la stessa corda. Se sottendono la stessa corda dallo stesso segmento, gli angoli coincidono.

L'angolo in una semicirconferenza è $90^\circ$

Se un triangolo è disegnato con un lato come diametro, allora l'angolo nel punto sulla circonferenza è retto.

Questo è un caso particolare del teorema dell'angolo al centro, perché l'angolo al centro che insiste su un diametro è $180^\circ$, e la sua metà è $90^\circ$.

Gli angoli opposti in un quadrilatero ciclico sommano $180^\circ$

Un quadrilatero ciclico è un quadrilatero i cui quattro vertici giacciono sulla stessa circonferenza.

Se gli angoli $A$ e $C$ sono opposti in un quadrilatero ciclico, allora

$$A + C = 180^\circ$$

Lo stesso vale per l'altra coppia di angoli opposti.

Un raggio e una tangente si incontrano a $90^\circ$

Se una retta è tangente a una circonferenza, tocca la circonferenza in un solo punto. Il raggio tracciato fino a quel punto è perpendicolare alla tangente.

Quindi, se $OA$ è un raggio e la retta in $A$ è tangente, allora l'angolo tra loro è

$$90^\circ$$

L'angolo tra una tangente e una corda è uguale all'angolo nel segmento opposto

Questo è spesso chiamato teorema della tangente e della corda.

Se una tangente tocca la circonferenza in un estremo di una corda, allora l'angolo tra la tangente e la corda è uguale all'angolo alla circonferenza che insiste su quella corda nel segmento opposto.

È una scorciatoia molto potente perché trasforma un angolo formato da una retta fuori dalla circonferenza in un angolo familiare all'interno della circonferenza.

Esempio svolto: trova due angoli a partire da un angolo al centro

Supponi che $O$ sia il centro di una circonferenza e che la corda $AB$ sottenda un angolo al centro $\angle AOB = 110^\circ$. Il punto $C$ si trova sulla circonferenza sull'arco opposto alla corda $AB$, e una tangente tocca la circonferenza in $A$.

Trova:

1. l'angolo alla circonferenza $\angle ACB$
2. l'angolo tra la tangente in $A$ e la corda $AB$

Inizia con il teorema dell'angolo al centro. L'angolo alla circonferenza che insiste sulla corda $AB$ è la metà dell'angolo al centro che insiste sulla corda $AB$, quindi

$$\angle ACB = \frac{110^\circ}{2} = 55^\circ$$

Ora usa il teorema della tangente e della corda. L'angolo tra la tangente in $A$ e la corda $AB$ è uguale all'angolo nel segmento opposto che insiste sulla corda $AB$. Quell'angolo è $\angle ACB$, quindi anche l'angolo tra tangente e corda è

$$55^\circ$$

Il passaggio chiave non è il calcolo. È accorgersi che entrambi gli angoli incogniti derivano dalla stessa corda $AB$.

Come scegliere il teorema della circonferenza giusto

Fatti queste domande in ordine:

1. C'è un angolo al centro segnato e un angolo corrispondente sulla circonferenza?
2. Uno dei lati è un diametro?
3. C'è una tangente che tocca la circonferenza in un solo punto?
4. Tutti e quattro i vertici del quadrilatero sono sulla circonferenza?
5. Due angoli insistono sulla stessa corda?

Questa rapida lista di controllo di solito ti dice quale teorema si adatta alla figura.

Errori comuni con i teoremi della circonferenza

Un errore comune è usare la regola del "doppio" per angoli che non insistono sullo stesso arco. L'angolo al centro e l'angolo alla circonferenza devono derivare dallo stesso arco.

Un altro errore è chiamare una retta tangente solo perché sembra toccare la circonferenza. In una dimostrazione o in un problema d'esame, la condizione di tangenza deve essere dichiarata o dimostrata.

Gli studenti confondono anche "gli angoli nello stesso segmento sono uguali" con "gli angoli opposti in un quadrilatero ciclico sommano $180^\circ$". Un teorema dà un'uguaglianza. L'altro dà una coppia di angoli supplementari.

Un ultimo errore è supporre che qualsiasi figura a quattro lati vicino a una circonferenza sia ciclica. Per il teorema del quadrilatero ciclico, tutti e quattro i vertici devono stare sulla circonferenza.

Quando si usano i teoremi della circonferenza

I teoremi della circonferenza compaiono nella geometria scolastica, nelle dimostrazioni con caccia agli angoli, nelle impostazioni di geometria analitica e nei quesiti d'esame in cui una figura fornisce più informazioni di quanto sembri a prima vista.

Sono particolarmente utili quando devi dimostrare relazioni tra rette, trovare rapidamente angoli mancanti o collegare un angolo esterno formato da una tangente a un angolo interno sulla circonferenza.

Prova una tua versione

Disegna una circonferenza con centro $O$ e corda $PQ$. Sia $\angle POQ = 84^\circ$. Metti un punto $R$ sulla circonferenza sull'arco opposto alla corda $PQ$, poi traccia una tangente in $P$.

Trova $\angle PRQ$, poi trova l'angolo tra la tangente in $P$ e la corda $PQ$.

Se vuoi controllare la tua figura passo dopo passo, prova a risolvere un problema simile in GPAI Solver e verifica se hai associato ogni teorema alla condizione corretta.