เส้นสัมผัสวงกลม — สมบัติและทฤษฎีบท

เส้นสัมผัสวงกลมคือเส้นตรงที่แตะวงกลมเพียงจุดเดียวเท่านั้น ทฤษฎีบทสำคัญคือ รัศมีที่ลากไปยังจุดสัมผัสจะตั้งฉากกับเส้นสัมผัส ดังนั้นโจทย์เกี่ยวกับเส้นสัมผัสจึงมักเปลี่ยนเป็นโจทย์สามเหลี่ยมมุมฉากหรือโจทย์มุมได้อย่างรวดเร็ว

ถ้าเส้นตรงเพียงแค่ดูเหมือนแตะวงกลม อย่าเพิ่งใช้ทฤษฎีบทของเส้นสัมผัสจนกว่าจะยืนยันเงื่อนไขนี้ได้ชัดเจน ความผิดพลาดส่วนใหญ่มักเกิดจากการมองเส้นตัดหรือเส้นตรงทั่วไปว่าเป็นเส้นสัมผัส

เส้นสัมผัสวงกลม: สมบัติหลัก

ถ้าเส้นตรง $l$ เป็นเส้นสัมผัสของวงกลมที่จุด $T$ แล้ว

$$OT \perp l$$

โดยที่ $O$ คือจุดศูนย์กลางของวงกลม

สมบัตินี้มักเรียกว่า ทฤษฎีบทรัศมีกับเส้นสัมผัส เงื่อนไขนี้สำคัญมาก: รัศมีต้องสิ้นสุดที่จุดที่เส้นสัมผัสแตะวงกลม

เส้นสัมผัสกับเส้นตัด

เส้นสัมผัสตัดวงกลมหนึ่งครั้ง ส่วนเส้นตัดจะผ่านวงกลมและตัดที่สองจุด

ในรูปภาพ ความต่างนี้อาจดูเล็กน้อย แต่ในการพิสูจน์ถือว่าสำคัญมาก ทฤษฎีบทของเส้นสัมผัสใช้กับเส้นตัดหรือคอร์ดไม่ได้โดยอัตโนมัติ

เส้นสัมผัสสองเส้นจากจุดภายนอกเดียวกันยาวเท่ากัน

ถ้าลากเส้นสัมผัสสองเส้นจากจุดภายนอกเดียวกัน $P$ ไปยังวงกลม และเส้นทั้งสองสัมผัสวงกลมที่จุด $A$ และ $B$ แล้ว ความยาวของเส้นสัมผัสทั้งสองจะเท่ากัน:

$$PA = PB$$

สมบัตินี้มีประโยชน์เมื่อทราบความยาวของเส้นสัมผัสเส้นหนึ่ง แต่อีกเส้นหนึ่งยังไม่ทราบ เงื่อนไขสำคัญคือ เส้นสัมผัสทั้งสองต้องออกมาจากจุดภายนอกเดียวกัน

ตัวอย่างโจทย์: หาความยาวของเส้นสัมผัส

สมมติว่าวงกลมมีจุดศูนย์กลาง $O$ จากจุดภายนอก $P$ มีเส้นสัมผัสแตะวงกลมที่จุด $T$ ให้

$$OT = 5$$

และ

$$OP = 13.$$

จงหาความยาวของเส้นสัมผัส $PT$

เนื่องจาก $OT$ เป็นรัศมีที่ลากไปยังจุดสัมผัส จึงตั้งฉากกับเส้นสัมผัส ดังนั้นสามเหลี่ยม $OPT$ เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยมีมุมฉากที่จุด $T$

ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

$$OP^2 = OT^2 + PT^2$$

แทนค่าที่กำหนด:

$$13^2 = 5^2 + PT^2$$ $$169 = 25 + PT^2$$ $$PT^2 = 144$$ $$PT = 12$$

ดังนั้น ส่วนของเส้นสัมผัสยาว $12$

นี่คือรูปแบบมาตรฐานของการหาความยาวเส้นสัมผัส: หาจุดสัมผัส ทำเครื่องหมายมุมฉาก แล้วแก้โจทย์สามเหลี่ยมมุมฉาก

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในโจทย์เส้นสัมผัส

ตั้งฉากไม่ได้แปลว่าเป็นเส้นสัมผัสเสมอไป

เส้นตรงที่ตั้งฉากกับรัศมีจะเป็นเส้นสัมผัสก็ต่อเมื่อมันผ่านปลายรัศมีที่อยู่บนวงกลมเท่านั้น การตั้งฉากที่ตำแหน่งอื่นยังไม่เพียงพอ

เส้นตัดไม่ใช่เส้นสัมผัส

ถ้าเส้นตรงตัดผ่านวงกลมที่สองจุด มันคือเส้นตัด ไม่ใช่เส้นสัมผัส การใช้กฎของเส้นสัมผัสในกรณีนั้นจะทำให้ได้คำตอบผิด

เส้นสัมผัสที่ยาวเท่ากันต้องมาจากจุดภายนอกเดียวกัน

กฎ $PA = PB$ ใช้ได้ก็ต่อเมื่อส่วนของเส้นสัมผัสทั้งสองลากจากจุดภายนอกเดียวกันไปยังวงกลมเดียวกัน

มุมฉากอยู่ในตำแหน่งที่เฉพาะเจาะจง

มุมฉากเกิดขึ้นระหว่างเส้นสัมผัสกับรัศมีที่ลากไปยังจุดสัมผัส ไม่ได้เกิดขึ้นโดยอัตโนมัติระหว่างเส้นสัมผัสกับทุกส่วนของเส้นตรงที่ลากจากจุดศูนย์กลางหรือจุดภายนอก

เส้นสัมผัสวงกลมถูกใช้เมื่อใด

เส้นสัมผัสวงกลมพบได้ในเรขาคณิตระดับโรงเรียน เรขาคณิตวิเคราะห์ และการพิสูจน์จากรูปเกี่ยวกับมุมและความยาว นอกจากนี้ยังเชื่อมโยงไปสู่แนวคิดที่เกี่ยวข้อง เช่น มุมระหว่างเส้นสัมผัสกับคอร์ด การสร้างรูปวงกลม และโจทย์กำลังของจุด

เช็กสั้น ๆ ก่อนเริ่มแก้โจทย์

เมื่อคุณเห็นเส้นสัมผัส ให้ถามว่า:

1. จุดสัมผัสอยู่ที่ไหน?
2. รัศมีเส้นใดลากไปยังจุดนั้น?
3. สิ่งนี้ทำให้เกิดสามเหลี่ยมมุมฉาก หรือเป็นกรณีเส้นสัมผัสยาวเท่ากันหรือไม่?

การตรวจสอบทั้งสามข้อนี้ช่วยจับความผิดพลาดในการตั้งโจทย์ได้เกือบทั้งหมดก่อนเริ่มคำนวณ

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

ลองสร้างโจทย์แบบเดียวกันด้วยตัวเลขที่ต่างออกไป เช่น $OT = 7$ และ $OP = 25$ แล้วหาค่า $PT$ จากนั้นตรวจดูว่าคำตอบของคุณสมเหตุสมผลทางเรขาคณิตหรือไม่ ถ้าต้องการลองอีกกรณีทันที ให้สำรวจโจทย์เรขาคณิตวงกลมที่คล้ายกันใน GPAI Solver