Kreissätze — Winkel, Tangenten und Sehnen

Kreissätze sind Regeln zum Bestimmen von Winkeln in Zeichnungen mit Sehnen, Tangenten, Radien und Sehnenvierecken. Wenn du den passenden Satz der richtigen Bedingung zuordnest, wird aus einer unübersichtlichen Kreisfigur meist eine oder zwei einfache Winkelgleichungen.

Die Bedingung ist jedes Mal entscheidend. Du kannst einen Kreissatz nur anwenden, wenn die Zeichnung die nötige Voraussetzung wirklich erfüllt, zum Beispiel Winkel über derselben Sehne, eine echte Tangente mit genau einem Berührpunkt oder vier Eckpunkte, die alle auf dem Kreis liegen.

Die wichtigsten Kreissätze

Das sind die Kreissätze, die Schülerinnen und Schüler in Aufgaben zur Winkeljagd am häufigsten verwenden.

Der Mittelpunktswinkel ist doppelt so groß wie der Umfangswinkel

Wenn ein Mittelpunktswinkel und ein Umfangswinkel über demselben Bogen stehen, dann ist der Mittelpunktswinkel doppelt so groß wie der Umfangswinkel.

Wenn der Mittelpunktswinkel $\theta$ ist, dann ist der Umfangswinkel über demselben Bogen

$$\frac{\theta}{2}$$

Damit kannst du schnell zwischen einem großen Winkel im Mittelpunkt und einem kleineren Winkel auf dem Kreis wechseln.

Winkel im selben Kreisbogen sind gleich groß

Wenn zwei Umfangswinkel über derselben Sehne stehen und im selben Kreisbogen liegen, dann sind sie gleich groß.

Das ist nützlich, wenn zwei Punkte auf dem Kreis beide dieselbe Sehne „sehen“. Wenn sie dieselbe Sehne aus demselben Kreisbogen unterspannen, sind die Winkel gleich.

Der Winkel im Halbkreis ist $90^\circ$

Wenn ein Dreieck so gezeichnet ist, dass eine Seite ein Durchmesser ist, dann ist der Winkel am Punkt auf dem Kreis ein rechter Winkel.

Das ist ein Spezialfall des Satzes über den Mittelpunktswinkel, denn der Winkel im Mittelpunkt über einem Durchmesser ist $180^\circ$, und die Hälfte davon ist $90^\circ$.

Gegenüberliegende Winkel in einem Sehnenviereck ergeben zusammen $180^\circ$

Ein Sehnenviereck ist ein Viereck, dessen vier Eckpunkte auf demselben Kreis liegen.

Wenn die Winkel $A$ und $C$ gegenüberliegende Winkel in einem Sehnenviereck sind, dann gilt

$$A + C = 180^\circ$$

Dasselbe gilt für das andere Paar gegenüberliegender Winkel.

Radius und Tangente treffen sich unter $90^\circ$

Wenn eine Gerade Tangente an einen Kreis ist, berührt sie den Kreis in genau einem Punkt. Der Radius zu diesem Punkt steht senkrecht auf der Tangente.

Wenn also $OA$ ein Radius ist und die Gerade in $A$ eine Tangente ist, dann ist der Winkel zwischen ihnen

$$90^\circ$$

Der Winkel zwischen Tangente und Sehne ist gleich dem Winkel im gegenüberliegenden Kreisbogen

Das wird oft Tangente-Sehne-Satz genannt.

Wenn eine Tangente den Kreis an einem Endpunkt einer Sehne berührt, dann ist der Winkel zwischen Tangente und Sehne gleich dem Umfangswinkel über dieser Sehne im gegenüberliegenden Kreisbogen.

Das ist eine starke Abkürzung, weil sie einen Linienwinkel außerhalb des Kreises in einen vertrauten Winkel innerhalb des Kreises umwandelt.

Durchgerechnetes Beispiel: Zwei Winkel aus einem Mittelpunktswinkel bestimmen

Angenommen, $O$ ist der Mittelpunkt eines Kreises und die Sehne $AB$ spannt den Mittelpunktswinkel $\angle AOB = 110^\circ$ auf. Der Punkt $C$ liegt auf dem Kreis auf dem gegenüberliegenden Bogen zur Sehne $AB$, und eine Tangente berührt den Kreis in $A$.

Bestimme:

1. den Umfangswinkel $\angle ACB$
2. den Winkel zwischen der Tangente in $A$ und der Sehne $AB$

Beginne mit dem Satz über den Mittelpunktswinkel. Der Umfangswinkel über der Sehne $AB$ ist halb so groß wie der Mittelpunktswinkel über der Sehne $AB$, also

$$\angle ACB = \frac{110^\circ}{2} = 55^\circ$$

Verwende jetzt den Tangente-Sehne-Satz. Der Winkel zwischen der Tangente in $A$ und der Sehne $AB$ ist gleich dem Winkel im gegenüberliegenden Kreisbogen über der Sehne $AB$. Dieser Winkel ist $\angle ACB$, also ist auch der Tangente-Sehne-Winkel

$$55^\circ$$

Der entscheidende Schritt ist nicht das Rechnen. Entscheidend ist zu erkennen, dass beide unbekannten Winkel von derselben Sehne $AB$ ausgehen.

So wählst du den richtigen Kreissatz

Stelle diese Fragen der Reihe nach:

1. Gibt es einen markierten Mittelpunktswinkel und einen passenden Winkel auf dem Kreis?
2. Ist eine Seite ein Durchmesser?
3. Gibt es eine Tangente, die den Kreis in genau einem Punkt berührt?
4. Liegen alle vier Eckpunkte des Vierecks auf dem Kreis?
5. Stehen zwei Winkel über derselben Sehne?

Diese kurze Checkliste zeigt dir meist, welcher Kreissatz zur Zeichnung gehört.

Häufige Fehler bei Kreissätzen

Ein häufiger Fehler ist, die „doppelt so groß“-Regel für Winkel zu verwenden, die nicht über demselben Bogen stehen. Der Mittelpunktswinkel und der Umfangswinkel müssen vom selben Bogen ausgehen.

Ein anderer Fehler ist, eine Gerade als Tangente zu bezeichnen, nur weil sie so aussieht, als würde sie den Kreis berühren. In einem Beweis oder in einer Prüfungsaufgabe sollte die Tangenteneigenschaft angegeben oder hergeleitet sein.

Schülerinnen und Schüler verwechseln auch oft „Winkel im selben Kreisbogen sind gleich groß“ mit „gegenüberliegende Winkel in einem Sehnenviereck ergeben zusammen $180^\circ$“. Der eine Satz liefert Gleichheit. Der andere liefert ein Supplementwinkelpaar.

Ein letzter Fehler ist die Annahme, dass jede vierseitige Figur in der Nähe eines Kreises ein Sehnenviereck ist. Für den Satz über das Sehnenviereck müssen alle vier Eckpunkte auf dem Kreis liegen.

Wann Kreissätze verwendet werden

Kreissätze kommen in der Schulgeometrie, in Beweisen zur Winkeljagd, in der analytischen Geometrie und in Prüfungsaufgaben vor, bei denen eine Zeichnung mehr Informationen enthält, als es zuerst scheint.

Sie sind besonders nützlich, wenn du Beziehungen zwischen Geraden nachweisen, fehlende Winkel schnell bestimmen oder einen äußeren Tangentenwinkel mit einem inneren Winkel auf dem Kreis verknüpfen musst.

Probiere deine eigene Variante

Zeichne einen Kreis mit Mittelpunkt $O$ und der Sehne $PQ$. Es sei $\angle POQ = 84^\circ$. Setze einen Punkt $R$ auf den Kreis auf dem gegenüberliegenden Bogen zur Sehne $PQ$ und zeichne dann eine Tangente in $P$.

Bestimme $\angle PRQ$ und dann den Winkel zwischen der Tangente in $P$ und der Sehne $PQ$.

Wenn du deinen Ansatz Schritt für Schritt überprüfen möchtest, löse eine ähnliche Aufgabe im GPAI Solver und prüfe, ob du jeden Kreissatz der richtigen Bedingung zugeordnet hast.